Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8751 / 25742
↖ ↑ ↗
← S 71.123880°
W 83.858643°		 ← 395.23 m → S 71.123880°
W 83.847656°		 →
↑
395.19 m
↓
↑
395.19 m
↓
S 71.127434°
W 83.858643°		 ← 395.16 m →
156 177 m²		 S 71.127434°
W 83.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267074584960938 y=0.785598754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267074584960938 × 215)
    floor (0.267074584960938 × 32768)
    floor (8751.5)     		tx = 8751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785598754882812 × 215)
    floor (0.785598754882812 × 32768)
    floor (25742.5)     		ty = 25742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8751 / 25742 ti = "15/8751/25742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8751/25742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8751 ÷ 215
    8751 ÷ 32768     		x = 0.267059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25742 ÷ 215
    25742 ÷ 32768     		y = 0.78558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.267059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.46588134765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46360942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78558349609375 × 2 - 1) × π
    -0.5711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79437402657794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46360942} λ = -1.46360942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79437402657794))-π/2
    2×atan(0.166231476271386)-π/2
    2×0.164725219063175-π/2
    0.32945043812635-1.57079632675     		φ = -1.24134589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46360942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.858643°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24134589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.123880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8751 KachelY 25742 -1.46360942 -1.24134589 -83.858643 -71.123880
    Oben rechts KachelX + 1 8752 KachelY 25742 -1.46341767 -1.24134589 -83.847656 -71.123880
    Unten links KachelX 8751 KachelY + 1 25743 -1.46360942 -1.24140792 -83.858643 -71.127434
    Unten rechts KachelX + 1 8752 KachelY + 1 25743 -1.46341767 -1.24140792 -83.847656 -71.127434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24134589--1.24140792) × R
    6.20300000000462e-05 × 6371000     		dl = 395.193130000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24134589--1.24140792) × R
    6.20300000000462e-05 × 6371000     		dr = 395.193130000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46360942--1.46341767) × cos(-1.24134589) × R
    0.000191750000000157 × 0.323523069424875 × 6371000     		do = 395.228479890226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46360942--1.46341767) × cos(-1.24140792) × R
    0.000191750000000157 × 0.323464374758359 × 6371000     		du = 395.156776181844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24134589)-sin(-1.24140792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323523069424875-0.323464374758359)×R²
    abs(-1.46341767--1.46360942)×5.8694666516701e-05×R²
    0.000191750000000157×5.8694666516701e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.8694666516701e-05×40589641000000     		ar = 156177.411676889m²