Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8750 / 25836
↖ ↑ ↗
← S 71.455153°
W 83.869629°		 ← 388.54 m → S 71.455153°
W 83.858643°		 →
↑
388.50 m
↓
↑
388.50 m
↓
S 71.458646°
W 83.869629°		 ← 388.47 m →
150 935 m²		 S 71.458646°
W 83.858643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267044067382812 y=0.788467407226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267044067382812 × 215)
    floor (0.267044067382812 × 32768)
    floor (8750.5)     		tx = 8750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788467407226562 × 215)
    floor (0.788467407226562 × 32768)
    floor (25836.5)     		ty = 25836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8750 / 25836 ti = "15/8750/25836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8750/25836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8750 ÷ 215
    8750 ÷ 32768     		x = 0.26702880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25836 ÷ 215
    25836 ÷ 32768     		y = 0.7884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.4659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46380117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.576904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81239830083508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46380117} λ = -1.46380117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81239830083508))-π/2
    2×atan(0.163262115230481)-π/2
    2×0.161834323191566-π/2
    0.323668646383132-1.57079632675     		φ = -1.24712768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46380117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.869629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24712768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.455153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8750 KachelY 25836 -1.46380117 -1.24712768 -83.869629 -71.455153
    Oben rechts KachelX + 1 8751 KachelY 25836 -1.46360942 -1.24712768 -83.858643 -71.455153
    Unten links KachelX 8750 KachelY + 1 25837 -1.46380117 -1.24718866 -83.869629 -71.458646
    Unten rechts KachelX + 1 8751 KachelY + 1 25837 -1.46360942 -1.24718866 -83.858643 -71.458646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24712768--1.24718866) × R
    6.09799999999883e-05 × 6371000     		dl = 388.503579999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24712768--1.24718866) × R
    6.09799999999883e-05 × 6371000     		dr = 388.503579999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46380117--1.46360942) × cos(-1.24712768) × R
    0.000191749999999935 × 0.318046845410199 × 6371000     		do = 388.53850969165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46380117--1.46360942) × cos(-1.24718866) × R
    0.000191749999999935 × 0.317989031205445 × 6371000     		du = 388.467881589914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24712768)-sin(-1.24718866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318046845410199-0.317989031205445)×R²
    abs(-1.46360942--1.46380117)×5.78142047540919e-05×R²
    0.000191749999999935×5.78142047540919e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.78142047540919e-05×40589641000000     		ar = 150934.882395054m²