Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8749 / 25835
↖ ↑ ↗
← S 71.451658°
W 83.880615°		 ← 388.59 m → S 71.451658°
W 83.869629°		 →
↑
388.57 m
↓
↑
388.57 m
↓
S 71.455153°
W 83.880615°		 ← 388.52 m →
150 979 m²		 S 71.455153°
W 83.869629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.267013549804688 y=0.788436889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.267013549804688 × 215)
    floor (0.267013549804688 × 32768)
    floor (8749.5)     		tx = 8749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788436889648438 × 215)
    floor (0.788436889648438 × 32768)
    floor (25835.5)     		ty = 25835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8749 / 25835 ti = "15/8749/25835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8749/25835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8749 ÷ 215
    8749 ÷ 32768     		x = 0.266998291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25835 ÷ 215
    25835 ÷ 32768     		y = 0.788421630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266998291015625 × 2 - 1) × π
    -0.46600341796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46399291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.788421630859375 × 2 - 1) × π
    -0.57684326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.8122065532366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46399291} λ = -1.46399291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8122065532366))-π/2
    2×atan(0.163293423350532)-π/2
    2×0.161864818322703-π/2
    0.323729636645407-1.57079632675     		φ = -1.24706669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46399291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.880615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24706669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.451658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8749 KachelY 25835 -1.46399291 -1.24706669 -83.880615 -71.451658
    Oben rechts KachelX + 1 8750 KachelY 25835 -1.46380117 -1.24706669 -83.869629 -71.451658
    Unten links KachelX 8749 KachelY + 1 25836 -1.46399291 -1.24712768 -83.880615 -71.455153
    Unten rechts KachelX + 1 8750 KachelY + 1 25836 -1.46380117 -1.24712768 -83.869629 -71.455153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24706669--1.24712768) × R
    6.09899999999275e-05 × 6371000     		dl = 388.567289999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24706669--1.24712768) × R
    6.09899999999275e-05 × 6371000     		dr = 388.567289999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46399291--1.46380117) × cos(-1.24706669) × R
    0.000191739999999996 × 0.318104667912832 × 6371000     		do = 388.58888148213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46399291--1.46380117) × cos(-1.24712768) × R
    0.000191739999999996 × 0.318046845410199 × 6371000     		du = 388.518246927252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24706669)-sin(-1.24712768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318104667912832-0.318046845410199)×R²
    abs(-1.46380117--1.46399291)×5.78225026336976e-05×R²
    0.000191739999999996×5.78225026336976e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.78225026336976e-05×40589641000000     		ar = 150979.205509226m²