Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8749 / 12227
↖ ↑ ↗
← S 65.973325°
E 12.238769°		 ← 994.81 m → S 65.973325°
E 12.260742°		 →
↑
994.64 m
↓
↑
994.64 m
↓
S 65.982270°
E 12.238769°		 ← 994.46 m →
989 305 m²		 S 65.982270°
E 12.260742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8749 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534027099609375 y=0.746307373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534027099609375 × 214)
    floor (0.534027099609375 × 16384)
    floor (8749.5)     		tx = 8749
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746307373046875 × 214)
    floor (0.746307373046875 × 16384)
    floor (12227.5)     		ty = 12227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8749 / 12227 ti = "14/8749/12227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8749/12227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8749 ÷ 214
    8749 ÷ 16384     		x = 0.53399658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12227 ÷ 214
    12227 ÷ 16384     		y = 0.74627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53399658203125 × 2 - 1) × π
    0.0679931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21360682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74627685546875 × 2 - 1) × π
    -0.4925537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54740311973541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21360682} λ = 0.21360682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54740311973541))-π/2
    2×atan(0.212799872698659)-π/2
    2×0.209672292073482-π/2
    0.419344584146965-1.57079632675     		φ = -1.15145174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21360682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.238769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15145174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.973325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8749 KachelY 12227 0.21360682 -1.15145174 12.238769 -65.973325
    Oben rechts KachelX + 1 8750 KachelY 12227 0.21399032 -1.15145174 12.260742 -65.973325
    Unten links KachelX 8749 KachelY + 1 12228 0.21360682 -1.15160786 12.238769 -65.982270
    Unten rechts KachelX + 1 8750 KachelY + 1 12228 0.21399032 -1.15160786 12.260742 -65.982270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15145174--1.15160786) × R
    0.000156119999999982 × 6371000     		dl = 994.640519999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15145174--1.15160786) × R
    0.000156119999999982 × 6371000     		dr = 994.640519999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21360682-0.21399032) × cos(-1.15145174) × R
    0.000383500000000009 × 0.407161914973395 × 6371000     		do = 994.809952873348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21360682-0.21399032) × cos(-1.15160786) × R
    0.000383500000000009 × 0.407019316873945 × 6371000     		du = 994.46154600282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15145174)-sin(-1.15160786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407161914973395-0.407019316873945)×R²
    abs(0.21399032-0.21360682)×0.000142598099450331×R²
    0.000383500000000009×0.000142598099450331×6371000²
    0.000383500000000009×0.000142598099450331×40589641000000     		ar = 989305.021041219m²