Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8748 / 25818
↖ ↑ ↗
← S 71.392155°
W 83.891601°		 ← 389.81 m → S 71.392155°
W 83.880615°		 →
↑
389.78 m
↓
↑
389.78 m
↓
S 71.395660°
W 83.891601°		 ← 389.74 m →
151 926 m²		 S 71.395660°
W 83.880615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266983032226562 y=0.787918090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266983032226562 × 215)
    floor (0.266983032226562 × 32768)
    floor (8748.5)     		tx = 8748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787918090820312 × 215)
    floor (0.787918090820312 × 32768)
    floor (25818.5)     		ty = 25818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8748 / 25818 ti = "15/8748/25818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8748/25818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8748 ÷ 215
    8748 ÷ 32768     		x = 0.2669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25818 ÷ 215
    25818 ÷ 32768     		y = 0.78790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46418466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78790283203125 × 2 - 1) × π
    -0.5758056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80894684406244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46418466} λ = -1.46418466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80894684406244))-π/2
    2×atan(0.163826580917917)-π/2
    2×0.162384084534641-π/2
    0.324768169069283-1.57079632675     		φ = -1.24602816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46418466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.891601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24602816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.392155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8748 KachelY 25818 -1.46418466 -1.24602816 -83.891601 -71.392155
    Oben rechts KachelX + 1 8749 KachelY 25818 -1.46399291 -1.24602816 -83.880615 -71.392155
    Unten links KachelX 8748 KachelY + 1 25819 -1.46418466 -1.24608934 -83.891601 -71.395660
    Unten rechts KachelX + 1 8749 KachelY + 1 25819 -1.46399291 -1.24608934 -83.880615 -71.395660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24602816--1.24608934) × R
    6.1179999999883e-05 × 6371000     		dl = 389.777779999255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24602816--1.24608934) × R
    6.1179999999883e-05 × 6371000     		dr = 389.777779999255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46418466--1.46399291) × cos(-1.24602816) × R
    0.000191749999999935 × 0.319089080372859 × 6371000     		do = 389.811744829757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46418466--1.46399291) × cos(-1.24608934) × R
    0.000191749999999935 × 0.319031097976904 × 6371000     		du = 389.740911259049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24602816)-sin(-1.24608934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319089080372859-0.319031097976904)×R²
    abs(-1.46399291--1.46418466)×5.79823959556136e-05×R²
    0.000191749999999935×5.79823959556136e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.79823959556136e-05×40589641000000     		ar = 151926.151888372m²