Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8747 / 25730
↖ ↑ ↗
← S 71.081182°
W 83.902588°		 ← 396.09 m → S 71.081182°
W 83.891601°		 →
↑
396.02 m
↓
↑
396.02 m
↓
S 71.084743°
W 83.902588°		 ← 396.02 m →
156 846 m²		 S 71.084743°
W 83.891601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266952514648438 y=0.785232543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266952514648438 × 215)
    floor (0.266952514648438 × 32768)
    floor (8747.5)     		tx = 8747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785232543945312 × 215)
    floor (0.785232543945312 × 32768)
    floor (25730.5)     		ty = 25730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8747 / 25730 ti = "15/8747/25730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8747/25730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8747 ÷ 215
    8747 ÷ 32768     		x = 0.266937255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25730 ÷ 215
    25730 ÷ 32768     		y = 0.78521728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266937255859375 × 2 - 1) × π
    -0.46612548828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46437641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78521728515625 × 2 - 1) × π
    -0.5704345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79207305539618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46437641} λ = -1.46437641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79207305539618))-π/2
    2×atan(0.166614410499147)-π/2
    2×0.165097833145149-π/2
    0.330195666290299-1.57079632675     		φ = -1.24060066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46437641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.902588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24060066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.081182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8747 KachelY 25730 -1.46437641 -1.24060066 -83.902588 -71.081182
    Oben rechts KachelX + 1 8748 KachelY 25730 -1.46418466 -1.24060066 -83.891601 -71.081182
    Unten links KachelX 8747 KachelY + 1 25731 -1.46437641 -1.24066282 -83.902588 -71.084743
    Unten rechts KachelX + 1 8748 KachelY + 1 25731 -1.46418466 -1.24066282 -83.891601 -71.084743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24060066--1.24066282) × R
    6.21600000001443e-05 × 6371000     		dl = 396.021360000919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24060066--1.24066282) × R
    6.21600000001443e-05 × 6371000     		dr = 396.021360000919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46437641--1.46418466) × cos(-1.24060066) × R
    0.000191750000000157 × 0.324228131263808 × 6371000     		do = 396.089811106345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46437641--1.46418466) × cos(-1.24066282) × R
    0.000191750000000157 × 0.324169328587732 × 6371000     		du = 396.017975449245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24060066)-sin(-1.24066282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324228131263808-0.324169328587732)×R²
    abs(-1.46418466--1.46437641)×5.88026760759974e-05×R²
    0.000191750000000157×5.88026760759974e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.88026760759974e-05×40589641000000     		ar = 156845.80150011m²