Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8746 / 25822
↖ ↑ ↗
← S 71.406172°
W 83.913574°		 ← 389.53 m → S 71.406172°
W 83.902588°		 →
↑
389.46 m
↓
↑
389.46 m
↓
S 71.409675°
W 83.913574°		 ← 389.46 m →
151 692 m²		 S 71.409675°
W 83.902588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8746 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266921997070312 y=0.788040161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266921997070312 × 215)
    floor (0.266921997070312 × 32768)
    floor (8746.5)     		tx = 8746
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.788040161132812 × 215)
    floor (0.788040161132812 × 32768)
    floor (25822.5)     		ty = 25822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8746 / 25822 ti = "15/8746/25822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8746/25822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8746 ÷ 215
    8746 ÷ 32768     		x = 0.26690673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25822 ÷ 215
    25822 ÷ 32768     		y = 0.78802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.4661865234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46456816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78802490234375 × 2 - 1) × π
    -0.5760498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80971383445636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46456816} λ = -1.46456816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80971383445636))-π/2
    2×atan(0.163700975679248)-π/2
    2×0.162261759869337-π/2
    0.324523519738673-1.57079632675     		φ = -1.24627281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46456816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.913574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24627281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.406172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8746 KachelY 25822 -1.46456816 -1.24627281 -83.913574 -71.406172
    Oben rechts KachelX + 1 8747 KachelY 25822 -1.46437641 -1.24627281 -83.902588 -71.406172
    Unten links KachelX 8746 KachelY + 1 25823 -1.46456816 -1.24633394 -83.913574 -71.409675
    Unten rechts KachelX + 1 8747 KachelY + 1 25823 -1.46437641 -1.24633394 -83.902588 -71.409675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24627281--1.24633394) × R
    6.11299999999648e-05 × 6371000     		dl = 389.459229999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24627281--1.24633394) × R
    6.11299999999648e-05 × 6371000     		dr = 389.459229999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46456816--1.46437641) × cos(-1.24627281) × R
    0.000191749999999935 × 0.318857209971313 × 6371000     		do = 389.528482846315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46456816--1.46437641) × cos(-1.24633394) × R
    0.000191749999999935 × 0.318799270192614 × 6371000     		du = 389.457701338521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24627281)-sin(-1.24633394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318857209971313-0.318799270192614)×R²
    abs(-1.46437641--1.46456816)×5.79397786988345e-05×R²
    0.000191749999999935×5.79397786988345e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.79397786988345e-05×40589641000000     		ar = 151691.679783211m²