Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8742 / 25805
↖ ↑ ↗
← S 71.346528°
W 83.957520°		 ← 390.73 m → S 71.346528°
W 83.946533°		 →
↑
390.67 m
↓
↑
390.67 m
↓
S 71.350041°
W 83.957520°		 ← 390.66 m →
152 634 m²		 S 71.350041°
W 83.946533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266799926757812 y=0.787521362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266799926757812 × 215)
    floor (0.266799926757812 × 32768)
    floor (8742.5)     		tx = 8742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787521362304688 × 215)
    floor (0.787521362304688 × 32768)
    floor (25805.5)     		ty = 25805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8742 / 25805 ti = "15/8742/25805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8742/25805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8742 ÷ 215
    8742 ÷ 32768     		x = 0.26678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25805 ÷ 215
    25805 ÷ 32768     		y = 0.787506103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26678466796875 × 2 - 1) × π
    -0.4664306640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46533515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787506103515625 × 2 - 1) × π
    -0.57501220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.8064541252822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46533515} λ = -1.46533515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8064541252822))-π/2
    2×atan(0.164235463916318)-π/2
    2×0.162782254302109-π/2
    0.325564508604218-1.57079632675     		φ = -1.24523182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46533515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.957520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24523182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.346528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8742 KachelY 25805 -1.46533515 -1.24523182 -83.957520 -71.346528
    Oben rechts KachelX + 1 8743 KachelY 25805 -1.46514340 -1.24523182 -83.946533 -71.346528
    Unten links KachelX 8742 KachelY + 1 25806 -1.46533515 -1.24529314 -83.957520 -71.350041
    Unten rechts KachelX + 1 8743 KachelY + 1 25806 -1.46514340 -1.24529314 -83.946533 -71.350041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24523182--1.24529314) × R
    6.13199999999203e-05 × 6371000     		dl = 390.669719999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24523182--1.24529314) × R
    6.13199999999203e-05 × 6371000     		dr = 390.669719999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46533515--1.46514340) × cos(-1.24523182) × R
    0.000191749999999935 × 0.319843690226106 × 6371000     		do = 390.733605844921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46533515--1.46514340) × cos(-1.24529314) × R
    0.000191749999999935 × 0.31978559074458 × 6371000     		du = 390.662629237883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24523182)-sin(-1.24529314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319843690226106-0.31978559074458)×R²
    abs(-1.46514340--1.46533515)×5.8099481526519e-05×R²
    0.000191749999999935×5.8099481526519e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.8099481526519e-05×40589641000000     		ar = 152633.924232138m²