Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8740 / 7660
↖ ↑ ↗
← N 79.706833°
W131.989746°		 ← 109.15 m → N 79.706833°
W131.984253°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 79.705852°
W131.989746°		 ← 109.16 m →
11 913 m²		 N 79.705852°
W131.984253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133369445800781 y=0.116889953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133369445800781 × 216)
    floor (0.133369445800781 × 65536)
    floor (8740.5)     		tx = 8740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116889953613281 × 216)
    floor (0.116889953613281 × 65536)
    floor (7660.5)     		ty = 7660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8740 / 7660 ti = "16/8740/7660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8740/7660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8740 ÷ 216
    8740 ÷ 65536     		x = 0.13336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7660 ÷ 216
    7660 ÷ 65536     		y = 0.11688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13336181640625 × 2 - 1) × π
    -0.7332763671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30365565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11688232421875 × 2 - 1) × π
    0.7662353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40719935132074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30365565} λ = -2.30365565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40719935132074))-π/2
    2×atan(11.1028224561069)-π/2
    2×1.48097150463012-π/2
    2.96194300926024-1.57079632675     		φ = 1.39114668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30365565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.989746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39114668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.706833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8740 KachelY 7660 -2.30365565 1.39114668 -131.989746 79.706833
    Oben rechts KachelX + 1 8741 KachelY 7660 -2.30355977 1.39114668 -131.984253 79.706833
    Unten links KachelX 8740 KachelY + 1 7661 -2.30365565 1.39112955 -131.989746 79.705852
    Unten rechts KachelX + 1 8741 KachelY + 1 7661 -2.30355977 1.39112955 -131.984253 79.705852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39114668-1.39112955) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39114668-1.39112955) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30365565--2.30355977) × cos(1.39114668) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178684869654082 × 6371000     		do = 109.149917081732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30365565--2.30355977) × cos(1.39112955) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178701723943743 × 6371000     		du = 109.160212549515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39114668)-sin(1.39112955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178684869654082-0.178701723943743)×R²
    abs(-2.30355977--2.30365565)×1.68542896609447e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68542896609447e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68542896609447e-05×40589641000000     		ar = 11912.6631048829m²