Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8740 / 25727
↖ ↑ ↗
← S 71.070493°
W 83.979492°		 ← 396.28 m → S 71.070493°
W 83.968506°		 →
↑
396.28 m
↓
↑
396.28 m
↓
S 71.074057°
W 83.979492°		 ← 396.21 m →
157 024 m²		 S 71.074057°
W 83.968506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266738891601562 y=0.785140991210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266738891601562 × 215)
    floor (0.266738891601562 × 32768)
    floor (8740.5)     		tx = 8740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785140991210938 × 215)
    floor (0.785140991210938 × 32768)
    floor (25727.5)     		ty = 25727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8740 / 25727 ti = "15/8740/25727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8740/25727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8740 ÷ 215
    8740 ÷ 32768     		x = 0.2667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25727 ÷ 215
    25727 ÷ 32768     		y = 0.785125732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46571864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785125732421875 × 2 - 1) × π
    -0.57025146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79149781260074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46571864} λ = -1.46571864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79149781260074))-π/2
    2×atan(0.1667102818104)-π/2
    2×0.165191113470527-π/2
    0.330382226941054-1.57079632675     		φ = -1.24041410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46571864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -83.979492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24041410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.070493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8740 KachelY 25727 -1.46571864 -1.24041410 -83.979492 -71.070493
    Oben rechts KachelX + 1 8741 KachelY 25727 -1.46552690 -1.24041410 -83.968506 -71.070493
    Unten links KachelX 8740 KachelY + 1 25728 -1.46571864 -1.24047630 -83.979492 -71.074057
    Unten rechts KachelX + 1 8741 KachelY + 1 25728 -1.46552690 -1.24047630 -83.968506 -71.074057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24041410--1.24047630) × R
    6.22000000001233e-05 × 6371000     		dl = 396.276200000785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24041410--1.24047630) × R
    6.22000000001233e-05 × 6371000     		dr = 396.276200000785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46571864--1.46552690) × cos(-1.24041410) × R
    0.000191739999999996 × 0.324404607447958 × 6371000     		do = 396.284733521718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46571864--1.46552690) × cos(-1.24047630) × R
    0.000191739999999996 × 0.324345770694955 × 6371000     		du = 396.212859983397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24041410)-sin(-1.24047630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324404607447958-0.324345770694955)×R²
    abs(-1.46552690--1.46571864)×5.88367530029998e-05×R²
    0.000191739999999996×5.88367530029998e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.88367530029998e-05×40589641000000     		ar = 157023.967482286m²