Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 874 / 280
↖ ↑ ↗
← N 78.349410°
W 26.367188°		 ← 3 947.18 m → N 78.349410°
W 26.191406°		 →
↑
3 953.08 m
↓
↑
3 953.08 m
↓
N 78.313860°
W 26.367188°		 ← 3 959.06 m →
15 626 990 m²		 N 78.313860°
W 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427001953125 y=0.136962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427001953125 × 211)
    floor (0.427001953125 × 2048)
    floor (874.5)     		tx = 874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136962890625 × 211)
    floor (0.136962890625 × 2048)
    floor (280.5)     		ty = 280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 874 / 280 ti = "11/874/280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/874/280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 874 ÷ 211
    874 ÷ 2048     		x = 0.4267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 280 ÷ 211
    280 ÷ 2048     		y = 0.13671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4267578125 × 2 - 1) × π
    -0.146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46019424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13671875 × 2 - 1) × π
    0.7265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28256341230859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46019424} λ = -0.46019424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28256341230859))-π/2
    2×atan(9.80177422158009)-π/2
    2×1.46912575516101-π/2
    2.93825151032202-1.57079632675     		φ = 1.36745518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46019424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.367188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36745518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.349410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 874 KachelY 280 -0.46019424 1.36745518 -26.367188 78.349410
    Oben rechts KachelX + 1 875 KachelY 280 -0.45712627 1.36745518 -26.191406 78.349410
    Unten links KachelX 874 KachelY + 1 281 -0.46019424 1.36683470 -26.367188 78.313860
    Unten rechts KachelX + 1 875 KachelY + 1 281 -0.45712627 1.36683470 -26.191406 78.313860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36745518-1.36683470) × R
    0.000620480000000034 × 6371000     		dl = 3953.07808000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36745518-1.36683470) × R
    0.000620480000000034 × 6371000     		dr = 3953.07808000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46019424--0.45712627) × cos(1.36745518) × R
    0.00306796999999998 × 0.201942762110113 × 6371000     		do = 3947.18067383388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46019424--0.45712627) × cos(1.36683470) × R
    0.00306796999999998 × 0.202550419650011 × 6371000     		du = 3959.05797051306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36745518)-sin(1.36683470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201942762110113-0.202550419650011)×R²
    abs(-0.45712627--0.46019424)×0.000607657539898138×R²
    0.00306796999999998×0.000607657539898138×6371000²
    0.00306796999999998×0.000607657539898138×40589641000000     		ar = 15626989.8414613m²