Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 874 / 1359
↖ ↑ ↗
← S 50.625073°
W 26.367188°		 ← 12.400 km → S 50.625073°
W 26.191406°		 →
↑
12.385 km
↓
↑
12.385 km
↓
S 50.736455°
W 26.367188°		 ← 12.370 km →
153.391 km²		 S 50.736455°
W 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427001953125 y=0.663818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427001953125 × 211)
    floor (0.427001953125 × 2048)
    floor (874.5)     		tx = 874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663818359375 × 211)
    floor (0.663818359375 × 2048)
    floor (1359.5)     		ty = 1359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 874 / 1359 ti = "11/874/1359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/874/1359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 874 ÷ 211
    874 ÷ 2048     		x = 0.4267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1359 ÷ 211
    1359 ÷ 2048     		y = 0.66357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4267578125 × 2 - 1) × π
    -0.146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46019424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66357421875 × 2 - 1) × π
    -0.3271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.027767127854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46019424} λ = -0.46019424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.027767127854))-π/2
    2×atan(0.357805002098112)-π/2
    2×0.34361105889713-π/2
    0.68722211779426-1.57079632675     		φ = -0.88357421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46019424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.367188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88357421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.625073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 874 KachelY 1359 -0.46019424 -0.88357421 -26.367188 -50.625073
    Oben rechts KachelX + 1 875 KachelY 1359 -0.45712627 -0.88357421 -26.191406 -50.625073
    Unten links KachelX 874 KachelY + 1 1360 -0.46019424 -0.88551819 -26.367188 -50.736455
    Unten rechts KachelX + 1 875 KachelY + 1 1360 -0.45712627 -0.88551819 -26.191406 -50.736455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88357421--0.88551819) × R
    0.00194397999999996 × 6371000     		dl = 12385.0965799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88357421--0.88551819) × R
    0.00194397999999996 × 6371000     		dr = 12385.0965799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46019424--0.45712627) × cos(-0.88357421) × R
    0.00306796999999998 × 0.634392297664295 × 6371000     		do = 12399.8552401902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46019424--0.45712627) × cos(-0.88551819) × R
    0.00306796999999998 × 0.632888381473458 × 6371000     		du = 12370.4596388747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88357421)-sin(-0.88551819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634392297664295-0.632888381473458)×R²
    abs(-0.45712627--0.46019424)×0.00150391619083645×R²
    0.00306796999999998×0.00150391619083645×6371000²
    0.00306796999999998×0.00150391619083645×40589641000000     		ar = 153391419.353371m²