Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8738 / 7659
↖ ↑ ↗
← N 79.707815°
W132.000733°		 ← 109.14 m → N 79.707815°
W131.995239°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 79.706833°
W132.000733°		 ← 109.15 m →
11 912 m²		 N 79.706833°
W131.995239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133338928222656 y=0.116874694824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133338928222656 × 216)
    floor (0.133338928222656 × 65536)
    floor (8738.5)     		tx = 8738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116874694824219 × 216)
    floor (0.116874694824219 × 65536)
    floor (7659.5)     		ty = 7659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8738 / 7659 ti = "16/8738/7659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8738/7659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8738 ÷ 216
    8738 ÷ 65536     		x = 0.133331298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7659 ÷ 216
    7659 ÷ 65536     		y = 0.116867065429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.133331298828125 × 2 - 1) × π
    -0.73333740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.30384740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116867065429688 × 2 - 1) × π
    0.766265869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40729522511998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30384740} λ = -2.30384740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40729522511998))-π/2
    2×atan(11.103886976907)-π/2
    2×1.48098006982468-π/2
    2.96196013964935-1.57079632675     		φ = 1.39116381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30384740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.000733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39116381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.707815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8738 KachelY 7659 -2.30384740 1.39116381 -132.000733 79.707815
    Oben rechts KachelX + 1 8739 KachelY 7659 -2.30375152 1.39116381 -131.995239 79.707815
    Unten links KachelX 8738 KachelY + 1 7660 -2.30384740 1.39114668 -132.000733 79.706833
    Unten rechts KachelX + 1 8739 KachelY + 1 7660 -2.30375152 1.39114668 -131.995239 79.706833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39116381-1.39114668) × R
    1.71299999998098e-05 × 6371000     		dl = 109.135229998788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39116381-1.39114668) × R
    1.71299999998098e-05 × 6371000     		dr = 109.135229998788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30384740--2.30375152) × cos(1.39116381) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178668015311989 × 6371000     		do = 109.13962158192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30384740--2.30375152) × cos(1.39114668) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.178684869654082 × 6371000     		du = 109.149917081732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39116381)-sin(1.39114668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178668015311989-0.178684869654082)×R²
    abs(-2.30375152--2.30384740)×1.68543420934475e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.68543420934475e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.68543420934475e-05×40589641000000     		ar = 11911.5395042026m²