Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8737 / 4703
↖ ↑ ↗
← N 77.844161°
W 84.012451°		 ← 257.24 m → N 77.844161°
W 84.001465°		 →
↑
257.26 m
↓
↑
257.26 m
↓
N 77.841848°
W 84.012451°		 ← 257.29 m →
66 185 m²		 N 77.841848°
W 84.001465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266647338867188 y=0.143539428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266647338867188 × 215)
    floor (0.266647338867188 × 32768)
    floor (8737.5)     		tx = 8737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143539428710938 × 215)
    floor (0.143539428710938 × 32768)
    floor (4703.5)     		ty = 4703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8737 / 4703 ti = "15/8737/4703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8737/4703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8737 ÷ 215
    8737 ÷ 32768     		x = 0.266632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4703 ÷ 215
    4703 ÷ 32768     		y = 0.143524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.46673583984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.46629389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143524169921875 × 2 - 1) × π
    0.71295166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2398036978475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46629389} λ = -1.46629389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2398036978475))-π/2
    2×atan(9.39148753726393)-π/2
    2×1.4647166231025-π/2
    2.92943324620501-1.57079632675     		φ = 1.35863692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46629389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.012451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35863692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.844161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8737 KachelY 4703 -1.46629389 1.35863692 -84.012451 77.844161
    Oben rechts KachelX + 1 8738 KachelY 4703 -1.46610214 1.35863692 -84.001465 77.844161
    Unten links KachelX 8737 KachelY + 1 4704 -1.46629389 1.35859654 -84.012451 77.841848
    Unten rechts KachelX + 1 8738 KachelY + 1 4704 -1.46610214 1.35859654 -84.001465 77.841848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35863692-1.35859654) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dl = 257.260979999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35863692-1.35859654) × R
    4.0379999999951e-05 × 6371000     		dr = 257.260979999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46629389--1.46610214) × cos(1.35863692) × R
    0.000191749999999935 × 0.210571378779613 × 6371000     		do = 257.242261243706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46629389--1.46610214) × cos(1.35859654) × R
    0.000191749999999935 × 0.210610853227156 × 6371000     		du = 257.290484778196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35863692)-sin(1.35859654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210571378779613-0.210610853227156)×R²
    abs(-1.46610214--1.46629389)×3.94744475426811e-05×R²
    0.000191749999999935×3.94744475426811e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.94744475426811e-05×40589641000000     		ar = 66184.5992511608m²