Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8736 / 7657
↖ ↑ ↗
← N 79.709778°
W132.011719°		 ← 109.11 m → N 79.709778°
W132.006226°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
N 79.708796°
W132.011719°		 ← 109.12 m →
11 908 m²		 N 79.708796°
W132.006226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.133308410644531 y=0.116844177246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.133308410644531 × 216)
    floor (0.133308410644531 × 65536)
    floor (8736.5)     		tx = 8736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116844177246094 × 216)
    floor (0.116844177246094 × 65536)
    floor (7657.5)     		ty = 7657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8736 / 7657 ti = "16/8736/7657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8736/7657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8736 ÷ 216
    8736 ÷ 65536     		x = 0.13330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7657 ÷ 216
    7657 ÷ 65536     		y = 0.116836547851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13330078125 × 2 - 1) × π
    -0.7333984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.30403914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116836547851562 × 2 - 1) × π
    0.766326904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.40748697271846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30403914} λ = -2.30403914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40748697271846))-π/2
    2×atan(11.1060163247108)-π/2
    2×1.48099719779008-π/2
    2.96199439558017-1.57079632675     		φ = 1.39119807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30403914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.011719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39119807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.709778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8736 KachelY 7657 -2.30403914 1.39119807 -132.011719 79.709778
    Oben rechts KachelX + 1 8737 KachelY 7657 -2.30394327 1.39119807 -132.006226 79.709778
    Unten links KachelX 8736 KachelY + 1 7658 -2.30403914 1.39118094 -132.011719 79.708796
    Unten rechts KachelX + 1 8737 KachelY + 1 7658 -2.30394327 1.39118094 -132.006226 79.708796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39119807-1.39118094) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39119807-1.39118094) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30403914--2.30394327) × cos(1.39119807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178634306470523 × 6371000     		do = 109.107649694625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30403914--2.30394327) × cos(1.39118094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.178651160917467 × 6371000     		du = 109.117944184689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39119807)-sin(1.39118094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178634306470523-0.178651160917467)×R²
    abs(-2.30394327--2.30403914)×1.68544469442977e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.68544469442977e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.68544469442977e-05×40589641000000     		ar = 11908.0501902976m²