Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8736 / 25785
↖ ↑ ↗
← S 71.276122°
W 84.023437°		 ← 392.14 m → S 71.276122°
W 84.012451°		 →
↑
392.14 m
↓
↑
392.14 m
↓
S 71.279648°
W 84.023437°		 ← 392.06 m →
153 756 m²		 S 71.279648°
W 84.012451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8736 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266616821289062 y=0.786911010742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266616821289062 × 215)
    floor (0.266616821289062 × 32768)
    floor (8736.5)     		tx = 8736
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786911010742188 × 215)
    floor (0.786911010742188 × 32768)
    floor (25785.5)     		ty = 25785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8736 / 25785 ti = "15/8736/25785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8736/25785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8736 ÷ 215
    8736 ÷ 32768     		x = 0.2666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25785 ÷ 215
    25785 ÷ 32768     		y = 0.786895751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2666015625 × 2 - 1) × π
    -0.466796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.46648563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786895751953125 × 2 - 1) × π
    -0.57379150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80261917331259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46648563} λ = -1.46648563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80261917331259))-π/2
    2×atan(0.164866508271149)-π/2
    2×0.163396662296824-π/2
    0.326793324593648-1.57079632675     		φ = -1.24400300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46648563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.023437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24400300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.276122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8736 KachelY 25785 -1.46648563 -1.24400300 -84.023437 -71.276122
    Oben rechts KachelX + 1 8737 KachelY 25785 -1.46629389 -1.24400300 -84.012451 -71.276122
    Unten links KachelX 8736 KachelY + 1 25786 -1.46648563 -1.24406455 -84.023437 -71.279648
    Unten rechts KachelX + 1 8737 KachelY + 1 25786 -1.46629389 -1.24406455 -84.012451 -71.279648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24400300--1.24406455) × R
    6.15500000000768e-05 × 6371000     		dl = 392.135050000489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24400300--1.24406455) × R
    6.15500000000768e-05 × 6371000     		dr = 392.135050000489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46648563--1.46629389) × cos(-1.24400300) × R
    0.000191739999999996 × 0.321007718934233 × 6371000     		do = 392.135177601245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46648563--1.46629389) × cos(-1.24406455) × R
    0.000191739999999996 × 0.320949425762847 × 6371000     		du = 392.063968088931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24400300)-sin(-1.24406455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321007718934233-0.320949425762847)×R²
    abs(-1.46629389--1.46648563)×5.82931713855595e-05×R²
    0.000191739999999996×5.82931713855595e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.82931713855595e-05×40589641000000     		ar = 153755.985650899m²