Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8732 / 9083
↖ ↑ ↗
← S 19.207429°
E 11.865235°		 ← 2 307.21 m → S 19.207429°
E 11.887207°		 →
↑
2 307.07 m
↓
↑
2 307.07 m
↓
S 19.228177°
E 11.865235°		 ← 2 306.92 m →
5 322 551 m²		 S 19.228177°
E 11.887207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9083 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532989501953125 y=0.554412841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532989501953125 × 214)
    floor (0.532989501953125 × 16384)
    floor (8732.5)     		tx = 8732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554412841796875 × 214)
    floor (0.554412841796875 × 16384)
    floor (9083.5)     		ty = 9083
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8732 / 9083 ti = "14/8732/9083"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8732/9083.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8732 ÷ 214
    8732 ÷ 16384     		x = 0.532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9083 ÷ 214
    9083 ÷ 16384     		y = 0.55438232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.532958984375 × 2 - 1) × π
    0.06591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20708741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55438232421875 × 2 - 1) × π
    -0.1087646484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.34169422049176
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20708741} λ = 0.20708741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.34169422049176))-π/2
    2×atan(0.710565447846449)-π/2
    2×0.617781729084977-π/2
    1.23556345816995-1.57079632675     		φ = -0.33523287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20708741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.865235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33523287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.207429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8732 KachelY 9083 0.20708741 -0.33523287 11.865235 -19.207429
    Oben rechts KachelX + 1 8733 KachelY 9083 0.20747090 -0.33523287 11.887207 -19.207429
    Unten links KachelX 8732 KachelY + 1 9084 0.20708741 -0.33559499 11.865235 -19.228177
    Unten rechts KachelX + 1 8733 KachelY + 1 9084 0.20747090 -0.33559499 11.887207 -19.228177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33523287--0.33559499) × R
    0.000362119999999966 × 6371000     		dl = 2307.06651999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33523287--0.33559499) × R
    0.000362119999999966 × 6371000     		dr = 2307.06651999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20708741-0.20747090) × cos(-0.33523287) × R
    0.000383490000000014 × 0.944333723549799 × 6371000     		do = 2307.21012007273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20708741-0.20747090) × cos(-0.33559499) × R
    0.000383490000000014 × 0.944214528108996 × 6371000     		du = 2306.91890000885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33523287)-sin(-0.33559499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944333723549799-0.944214528108996)×R²
    abs(0.20747090-0.20708741)×0.00011919544080341×R²
    0.000383490000000014×0.00011919544080341×6371000²
    0.000383490000000014×0.00011919544080341×40589641000000     		ar = 5322551.34875731m²