Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8732 / 25797
↖ ↑ ↗
← S 71.318396°
W 84.067383°		 ← 391.28 m → S 71.318396°
W 84.056397°		 →
↑
391.24 m
↓
↑
391.24 m
↓
S 71.321915°
W 84.067383°		 ← 391.21 m →
153 072 m²		 S 71.321915°
W 84.056397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266494750976562 y=0.787277221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266494750976562 × 215)
    floor (0.266494750976562 × 32768)
    floor (8732.5)     		tx = 8732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787277221679688 × 215)
    floor (0.787277221679688 × 32768)
    floor (25797.5)     		ty = 25797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8732 / 25797 ti = "15/8732/25797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8732/25797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8732 ÷ 215
    8732 ÷ 32768     		x = 0.2664794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25797 ÷ 215
    25797 ÷ 32768     		y = 0.787261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.467041015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46725262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.57452392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80492014449435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46725262} λ = -1.46725262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80492014449435))-π/2
    2×atan(0.164487591292483)-π/2
    2×0.16302774968997-π/2
    0.32605549937994-1.57079632675     		φ = -1.24474083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46725262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.067383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24474083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.318396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8732 KachelY 25797 -1.46725262 -1.24474083 -84.067383 -71.318396
    Oben rechts KachelX + 1 8733 KachelY 25797 -1.46706088 -1.24474083 -84.056397 -71.318396
    Unten links KachelX 8732 KachelY + 1 25798 -1.46725262 -1.24480224 -84.067383 -71.321915
    Unten rechts KachelX + 1 8733 KachelY + 1 25798 -1.46706088 -1.24480224 -84.056397 -71.321915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24474083--1.24480224) × R
    6.14100000000395e-05 × 6371000     		dl = 391.243110000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24474083--1.24480224) × R
    6.14100000000395e-05 × 6371000     		dr = 391.243110000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46725262--1.46706088) × cos(-1.24474083) × R
    0.000191739999999996 × 0.32030885010898 × 6371000     		do = 391.281456538648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46725262--1.46706088) × cos(-1.24480224) × R
    0.000191739999999996 × 0.320250675003323 × 6371000     		du = 391.210391252541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24474083)-sin(-1.24480224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32030885010898-0.320250675003323)×R²
    abs(-1.46706088--1.46725262)×5.81751056565882e-05×R²
    0.000191739999999996×5.81751056565882e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.81751056565882e-05×40589641000000     		ar = 153072.272087521m²