Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 873 / 989
↖ ↑ ↗
← N 79.456521°
W141.635742°		 ← 894.14 m → N 79.456521°
W141.591797°		 →
↑
894.42 m
↓
↑
894.42 m
↓
N 79.448478°
W141.635742°		 ← 894.81 m →
800 041 m²		 N 79.448478°
W141.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.10662841796875 y=0.12078857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.10662841796875 × 213)
    floor (0.10662841796875 × 8192)
    floor (873.5)     		tx = 873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12078857421875 × 213)
    floor (0.12078857421875 × 8192)
    floor (989.5)     		ty = 989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 873 / 989 ti = "13/873/989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/873/989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 873 ÷ 213
    873 ÷ 8192     		x = 0.1065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 989 ÷ 213
    989 ÷ 8192     		y = 0.1207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1065673828125 × 2 - 1) × π
    -0.786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.47201004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1207275390625 × 2 - 1) × π
    0.758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38303915391223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47201004} λ = -2.47201004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38303915391223))-π/2
    2×atan(10.8377905768383)-π/2
    2×1.47878712058132-π/2
    2.95757424116265-1.57079632675     		φ = 1.38677791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47201004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.635742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38677791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.456521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 873 KachelY 989 -2.47201004 1.38677791 -141.635742 79.456521
    Oben rechts KachelX + 1 874 KachelY 989 -2.47124305 1.38677791 -141.591797 79.456521
    Unten links KachelX 873 KachelY + 1 990 -2.47201004 1.38663752 -141.635742 79.448478
    Unten rechts KachelX + 1 874 KachelY + 1 990 -2.47124305 1.38663752 -141.591797 79.448478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38677791-1.38663752) × R
    0.000140389999999879 × 6371000     		dl = 894.424689999231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38677791-1.38663752) × R
    0.000140389999999879 × 6371000     		dr = 894.424689999231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47201004--2.47124305) × cos(1.38677791) × R
    0.000766989999999801 × 0.182981611350923 × 6371000     		do = 894.138416059441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47201004--2.47124305) × cos(1.38663752) × R
    0.000766989999999801 × 0.183119629249642 × 6371000     		du = 894.812839595429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38677791)-sin(1.38663752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182981611350923-0.183119629249642)×R²
    abs(-2.47124305--2.47201004)×0.00013801789871859×R²
    0.000766989999999801×0.00013801789871859×6371000²
    0.000766989999999801×0.00013801789871859×40589641000000     		ar = 800041.087445538m²