Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 873 / 987
↖ ↑ ↗
← N 79.472592°
W141.635742°		 ← 892.79 m → N 79.472592°
W141.591797°		 →
↑
893.09 m
↓
↑
893.09 m
↓
N 79.464560°
W141.635742°		 ← 893.46 m →
797 641 m²		 N 79.464560°
W141.591797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.10662841796875 y=0.12054443359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.10662841796875 × 213)
    floor (0.10662841796875 × 8192)
    floor (873.5)     		tx = 873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12054443359375 × 213)
    floor (0.12054443359375 × 8192)
    floor (987.5)     		ty = 987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 873 / 987 ti = "13/873/987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/873/987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 873 ÷ 213
    873 ÷ 8192     		x = 0.1065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 987 ÷ 213
    987 ÷ 8192     		y = 0.1204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1065673828125 × 2 - 1) × π
    -0.786865234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.47201004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1204833984375 × 2 - 1) × π
    0.759033203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38457313470007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47201004} λ = -2.47201004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38457313470007))-π/2
    2×atan(10.8544282970749)-π/2
    2×1.47892735994158-π/2
    2.95785471988317-1.57079632675     		φ = 1.38705839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47201004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.635742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38705839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.472592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 873 KachelY 987 -2.47201004 1.38705839 -141.635742 79.472592
    Oben rechts KachelX + 1 874 KachelY 987 -2.47124305 1.38705839 -141.591797 79.472592
    Unten links KachelX 873 KachelY + 1 988 -2.47201004 1.38691821 -141.635742 79.464560
    Unten rechts KachelX + 1 874 KachelY + 1 988 -2.47124305 1.38691821 -141.591797 79.464560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38705839-1.38691821) × R
    0.000140180000000045 × 6371000     		dl = 893.086780000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38705839-1.38691821) × R
    0.000140180000000045 × 6371000     		dr = 893.086780000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47201004--2.47124305) × cos(1.38705839) × R
    0.000766989999999801 × 0.182705859687153 × 6371000     		do = 892.790957404723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47201004--2.47124305) × cos(1.38691821) × R
    0.000766989999999801 × 0.182843678328536 × 6371000     		du = 893.464407271077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38705839)-sin(1.38691821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182705859687153-0.182843678328536)×R²
    abs(-2.47124305--2.47201004)×0.00013781864138282×R²
    0.000766989999999801×0.00013781864138282×6371000²
    0.000766989999999801×0.00013781864138282×40589641000000     		ar = 797640.527256644m²