Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 873 / 689
↖ ↑ ↗
← N 50.625073°
W 26.542969°		 ← 12.400 km → N 50.625073°
W 26.367188°		 →
↑
12.415 km
↓
↑
12.415 km
↓
N 50.513427°
W 26.542969°		 ← 12.429 km →
154.121 km²		 N 50.513427°
W 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426513671875 y=0.336669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426513671875 × 211)
    floor (0.426513671875 × 2048)
    floor (873.5)     		tx = 873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336669921875 × 211)
    floor (0.336669921875 × 2048)
    floor (689.5)     		ty = 689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 873 / 689 ti = "11/873/689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/873/689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 873 ÷ 211
    873 ÷ 2048     		x = 0.42626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 689 ÷ 211
    689 ÷ 2048     		y = 0.33642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33642578125 × 2 - 1) × π
    0.3271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.027767127854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46326220} λ = -0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.027767127854))-π/2
    2×atan(2.79481839028565)-π/2
    2×1.22718526789777-π/2
    2.45437053579553-1.57079632675     		φ = 0.88357421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88357421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.625073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 873 KachelY 689 -0.46326220 0.88357421 -26.542969 50.625073
    Oben rechts KachelX + 1 874 KachelY 689 -0.46019424 0.88357421 -26.367188 50.625073
    Unten links KachelX 873 KachelY + 1 690 -0.46326220 0.88162561 -26.542969 50.513427
    Unten rechts KachelX + 1 874 KachelY + 1 690 -0.46019424 0.88162561 -26.367188 50.513427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88357421-0.88162561) × R
    0.00194860000000008 × 6371000     		dl = 12414.5306000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88357421-0.88162561) × R
    0.00194860000000008 × 6371000     		dr = 12414.5306000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46326220--0.46019424) × cos(0.88357421) × R
    0.00306796000000004 × 0.634392297664295 × 6371000     		do = 12399.8148230572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46326220--0.46019424) × cos(0.88162561) × R
    0.00306796000000004 × 0.635897382051354 × 6371000     		du = 12429.2331620902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88357421)-sin(0.88162561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634392297664295-0.635897382051354)×R²
    abs(-0.46019424--0.46326220)×0.00150508438705921×R²
    0.00306796000000004×0.00150508438705921×6371000²
    0.00306796000000004×0.00150508438705921×40589641000000     		ar = 154120536.757094m²