Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 873 / 1358
↖ ↑ ↗
← S 50.513427°
W 26.542969°		 ← 12.429 km → S 50.513427°
W 26.367188°		 →
↑
12.415 km
↓
↑
12.415 km
↓
S 50.625073°
W 26.542969°		 ← 12.400 km →
154.121 km²		 S 50.625073°
W 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426513671875 y=0.663330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426513671875 × 211)
    floor (0.426513671875 × 2048)
    floor (873.5)     		tx = 873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663330078125 × 211)
    floor (0.663330078125 × 2048)
    floor (1358.5)     		ty = 1358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 873 / 1358 ti = "11/873/1358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/873/1358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 873 ÷ 211
    873 ÷ 2048     		x = 0.42626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1358 ÷ 211
    1358 ÷ 2048     		y = 0.6630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6630859375 × 2 - 1) × π
    -0.326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02469916627832
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46326220} λ = -0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02469916627832))-π/2
    2×atan(0.3589044197193)-π/2
    2×0.344585358732327-π/2
    0.689170717464654-1.57079632675     		φ = -0.88162561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88162561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.513427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 873 KachelY 1358 -0.46326220 -0.88162561 -26.542969 -50.513427
    Oben rechts KachelX + 1 874 KachelY 1358 -0.46019424 -0.88162561 -26.367188 -50.513427
    Unten links KachelX 873 KachelY + 1 1359 -0.46326220 -0.88357421 -26.542969 -50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 874 KachelY + 1 1359 -0.46019424 -0.88357421 -26.367188 -50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88162561--0.88357421) × R
    0.00194860000000008 × 6371000     		dl = 12414.5306000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88162561--0.88357421) × R
    0.00194860000000008 × 6371000     		dr = 12414.5306000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46326220--0.46019424) × cos(-0.88162561) × R
    0.00306796000000004 × 0.635897382051354 × 6371000     		do = 12429.2331620902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46326220--0.46019424) × cos(-0.88357421) × R
    0.00306796000000004 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 12399.8148230572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88162561)-sin(-0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635897382051354-0.634392297664295)×R²
    abs(-0.46019424--0.46326220)×0.00150508438705921×R²
    0.00306796000000004×0.00150508438705921×6371000²
    0.00306796000000004×0.00150508438705921×40589641000000     		ar = 154120536.757094m²