Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 873 / 1175
↖ ↑ ↗
← N 60.630102°
W103.271485°		 ← 4 793.15 m → N 60.630102°
W103.183593°		 →
↑
4 796.34 m
↓
↑
4 796.34 m
↓
N 60.586967°
W103.271485°		 ← 4 799.56 m →
23 004 984 m²		 N 60.586967°
W103.183593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2132568359375 y=0.2869873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2132568359375 × 212)
    floor (0.2132568359375 × 4096)
    floor (873.5)     		tx = 873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2869873046875 × 212)
    floor (0.2869873046875 × 4096)
    floor (1175.5)     		ty = 1175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 873 / 1175 ti = "12/873/1175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/873/1175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 873 ÷ 212
    873 ÷ 4096     		x = 0.213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1175 ÷ 212
    1175 ÷ 4096     		y = 0.286865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.57373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.80242743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286865234375 × 2 - 1) × π
    0.42626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33916522778589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80242743} λ = -1.80242743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33916522778589))-π/2
    2×atan(3.81585680423341)-π/2
    2×1.31449561420835-π/2
    2.62899122841671-1.57079632675     		φ = 1.05819490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80242743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.271485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05819490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.630102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 873 KachelY 1175 -1.80242743 1.05819490 -103.271485 60.630102
    Oben rechts KachelX + 1 874 KachelY 1175 -1.80089344 1.05819490 -103.183593 60.630102
    Unten links KachelX 873 KachelY + 1 1176 -1.80242743 1.05744206 -103.271485 60.586967
    Unten rechts KachelX + 1 874 KachelY + 1 1176 -1.80089344 1.05744206 -103.183593 60.586967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05819490-1.05744206) × R
    0.000752839999999866 × 6371000     		dl = 4796.34363999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05819490-1.05744206) × R
    0.000752839999999866 × 6371000     		dr = 4796.34363999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80242743--1.80089344) × cos(1.05819490) × R
    0.00153398999999999 × 0.490445973419791 × 6371000     		do = 4793.15316275958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80242743--1.80089344) × cos(1.05744206) × R
    0.00153398999999999 × 0.491101913051552 × 6371000     		du = 4799.56369376798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05819490)-sin(1.05744206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.490445973419791-0.491101913051552)×R²
    abs(-1.80089344--1.80242743)×0.000655939631760249×R²
    0.00153398999999999×0.000655939631760249×6371000²
    0.00153398999999999×0.000655939631760249×40589641000000     		ar = 23004984.3291027m²