Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 873 / 1174
↖ ↑ ↗
← N 60.673178°
W103.271485°		 ← 4 786.75 m → N 60.673178°
W103.183593°		 →
↑
4 789.91 m
↓
↑
4 789.91 m
↓
N 60.630102°
W103.271485°		 ← 4 793.15 m →
22 943 429 m²		 N 60.630102°
W103.183593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2132568359375 y=0.2867431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2132568359375 × 212)
    floor (0.2132568359375 × 4096)
    floor (873.5)     		tx = 873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2867431640625 × 212)
    floor (0.2867431640625 × 4096)
    floor (1174.5)     		ty = 1174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 873 / 1174 ti = "12/873/1174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/873/1174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 873 ÷ 212
    873 ÷ 4096     		x = 0.213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1174 ÷ 212
    1174 ÷ 4096     		y = 0.28662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213134765625 × 2 - 1) × π
    -0.57373046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.80242743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28662109375 × 2 - 1) × π
    0.4267578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.34069920857373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80242743} λ = -1.80242743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34069920857373))-π/2
    2×atan(3.82171474709747)-π/2
    2×1.31487153020005-π/2
    2.6297430604001-1.57079632675     		φ = 1.05894673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80242743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.271485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05894673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.673178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 873 KachelY 1174 -1.80242743 1.05894673 -103.271485 60.673178
    Oben rechts KachelX + 1 874 KachelY 1174 -1.80089344 1.05894673 -103.183593 60.673178
    Unten links KachelX 873 KachelY + 1 1175 -1.80242743 1.05819490 -103.271485 60.630102
    Unten rechts KachelX + 1 874 KachelY + 1 1175 -1.80089344 1.05819490 -103.183593 60.630102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05894673-1.05819490) × R
    0.000751830000000009 × 6371000     		dl = 4789.90893000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05894673-1.05819490) × R
    0.000751830000000009 × 6371000     		dr = 4789.90893000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80242743--1.80089344) × cos(1.05894673) × R
    0.00153398999999999 × 0.489790636377664 × 6371000     		do = 4786.74852088996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80242743--1.80089344) × cos(1.05819490) × R
    0.00153398999999999 × 0.490445973419791 × 6371000     		du = 4793.15316275958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05894673)-sin(1.05819490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.489790636377664-0.490445973419791)×R²
    abs(-1.80089344--1.80242743)×0.00065533704212789×R²
    0.00153398999999999×0.00065533704212789×6371000²
    0.00153398999999999×0.00065533704212789×40589641000000     		ar = 22943429.3922421m²