Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8727 / 9110
↖ ↑ ↗
← S 19.766704°
E 11.755371°		 ← 2 299.31 m → S 19.766704°
E 11.777344°		 →
↑
2 299.10 m
↓
↑
2 299.10 m
↓
S 19.787380°
E 11.755371°		 ← 2 299.02 m →
5 286 017 m²		 S 19.787380°
E 11.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532684326171875 y=0.556060791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532684326171875 × 214)
    floor (0.532684326171875 × 16384)
    floor (8727.5)     		tx = 8727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556060791015625 × 214)
    floor (0.556060791015625 × 16384)
    floor (9110.5)     		ty = 9110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8727 / 9110 ti = "14/8727/9110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8727/9110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8727 ÷ 214
    8727 ÷ 16384     		x = 0.53265380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9110 ÷ 214
    9110 ÷ 16384     		y = 0.5560302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53265380859375 × 2 - 1) × π
    0.0653076171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20516993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5560302734375 × 2 - 1) × π
    -0.112060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.352048590809692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20516993} λ = 0.20516993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.352048590809692))-π/2
    2×atan(0.703245949856006)-π/2
    2×0.612901133780624-π/2
    1.22580226756125-1.57079632675     		φ = -0.34499406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20516993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.755371°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34499406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.766704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8727 KachelY 9110 0.20516993 -0.34499406 11.755371 -19.766704
    Oben rechts KachelX + 1 8728 KachelY 9110 0.20555343 -0.34499406 11.777344 -19.766704
    Unten links KachelX 8727 KachelY + 1 9111 0.20516993 -0.34535493 11.755371 -19.787380
    Unten rechts KachelX + 1 8728 KachelY + 1 9111 0.20555343 -0.34535493 11.777344 -19.787380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34499406--0.34535493) × R
    0.000360870000000013 × 6371000     		dl = 2299.10277000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34499406--0.34535493) × R
    0.000360870000000013 × 6371000     		dr = 2299.10277000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20516993-0.20555343) × cos(-0.34499406) × R
    0.000383500000000009 × 0.941077461478174 × 6371000     		do = 2299.31432846425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20516993-0.20555343) × cos(-0.34535493) × R
    0.000383500000000009 × 0.940955357186245 × 6371000     		du = 2299.01599367303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34499406)-sin(-0.34535493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941077461478174-0.940955357186245)×R²
    abs(0.20555343-0.20516993)×0.000122104291928826×R²
    0.000383500000000009×0.000122104291928826×6371000²
    0.000383500000000009×0.000122104291928826×40589641000000     		ar = 5286017.04786632m²