Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8726 / 25768
↖ ↑ ↗
← S 71.216075°
W 84.133301°		 ← 393.37 m → S 71.216075°
W 84.122314°		 →
↑
393.35 m
↓
↑
393.35 m
↓
S 71.219612°
W 84.133301°		 ← 393.30 m →
154 715 m²		 S 71.219612°
W 84.122314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266311645507812 y=0.786392211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266311645507812 × 215)
    floor (0.266311645507812 × 32768)
    floor (8726.5)     		tx = 8726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786392211914062 × 215)
    floor (0.786392211914062 × 32768)
    floor (25768.5)     		ty = 25768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8726 / 25768 ti = "15/8726/25768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8726/25768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8726 ÷ 215
    8726 ÷ 32768     		x = 0.26629638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25768 ÷ 215
    25768 ÷ 32768     		y = 0.786376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.4674072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.46840311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.57275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79935946413843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46840311} λ = -1.46840311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79935946413843))-π/2
    2×atan(0.165404802004537)-π/2
    2×0.163920666536168-π/2
    0.327841333072336-1.57079632675     		φ = -1.24295499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46840311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.133301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24295499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.216075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8726 KachelY 25768 -1.46840311 -1.24295499 -84.133301 -71.216075
    Oben rechts KachelX + 1 8727 KachelY 25768 -1.46821136 -1.24295499 -84.122314 -71.216075
    Unten links KachelX 8726 KachelY + 1 25769 -1.46840311 -1.24301673 -84.133301 -71.219612
    Unten rechts KachelX + 1 8727 KachelY + 1 25769 -1.46821136 -1.24301673 -84.122314 -71.219612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24295499--1.24301673) × R
    6.17399999998103e-05 × 6371000     		dl = 393.345539998791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24295499--1.24301673) × R
    6.17399999998103e-05 × 6371000     		dr = 393.345539998791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46840311--1.46821136) × cos(-1.24295499) × R
    0.000191749999999935 × 0.322000088191557 × 6371000     		do = 393.367946238134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46840311--1.46821136) × cos(-1.24301673) × R
    0.000191749999999935 × 0.321941635872605 × 6371000     		du = 393.29653859105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24295499)-sin(-1.24301673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322000088191557-0.321941635872605)×R²
    abs(-1.46821136--1.46840311)×5.84523189512409e-05×R²
    0.000191749999999935×5.84523189512409e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.84523189512409e-05×40589641000000     		ar = 154715.483340811m²