Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 872 / 244
↖ ↑ ↗
← N 79.560546°
W 26.718750°		 ← 3 541.66 m → N 79.560546°
W 26.542969°		 →
↑
3 547.05 m
↓
↑
3 547.05 m
↓
N 79.528647°
W 26.718750°		 ← 3 552.36 m →
12 581 439 m²		 N 79.528647°
W 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426025390625 y=0.119384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426025390625 × 211)
    floor (0.426025390625 × 2048)
    floor (872.5)     		tx = 872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119384765625 × 211)
    floor (0.119384765625 × 2048)
    floor (244.5)     		ty = 244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 872 / 244 ti = "11/872/244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/872/244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 872 ÷ 211
    872 ÷ 2048     		x = 0.42578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 244 ÷ 211
    244 ÷ 2048     		y = 0.119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42578125 × 2 - 1) × π
    -0.1484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46633016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119140625 × 2 - 1) × π
    0.76171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46633016} λ = -0.46633016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3930100290332))-π/2
    2×atan(10.9463933659334)-π/2
    2×1.47969490688523-π/2
    2.95938981377045-1.57079632675     		φ = 1.38859349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46633016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.718750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38859349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.560546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 872 KachelY 244 -0.46633016 1.38859349 -26.718750 79.560546
    Oben rechts KachelX + 1 873 KachelY 244 -0.46326220 1.38859349 -26.542969 79.560546
    Unten links KachelX 872 KachelY + 1 245 -0.46633016 1.38803674 -26.718750 79.528647
    Unten rechts KachelX + 1 873 KachelY + 1 245 -0.46326220 1.38803674 -26.542969 79.528647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38859349-1.38803674) × R
    0.000556750000000106 × 6371000     		dl = 3547.05425000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38859349-1.38803674) × R
    0.000556750000000106 × 6371000     		dr = 3547.05425000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46633016--0.46326220) × cos(1.38859349) × R
    0.00306795999999998 × 0.181196384390541 × 6371000     		do = 3541.65966598653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46633016--0.46326220) × cos(1.38803674) × R
    0.00306795999999998 × 0.181743890359503 × 6371000     		du = 3552.36120296081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38859349)-sin(1.38803674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181196384390541-0.181743890359503)×R²
    abs(-0.46326220--0.46633016)×0.000547505968962081×R²
    0.00306795999999998×0.000547505968962081×6371000²
    0.00306795999999998×0.000547505968962081×40589641000000     		ar = 12581438.7613936m²