Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 872 / 1176
↖ ↑ ↗
← N 60.586967°
W103.359375°		 ← 4 799.53 m → N 60.586967°
W103.271485°		 →
↑
4 802.71 m
↓
↑
4 802.71 m
↓
N 60.543775°
W103.359375°		 ← 4 805.95 m →
23 066 193 m²		 N 60.543775°
W103.271485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2130126953125 y=0.2872314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2130126953125 × 212)
    floor (0.2130126953125 × 4096)
    floor (872.5)     		tx = 872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2872314453125 × 212)
    floor (0.2872314453125 × 4096)
    floor (1176.5)     		ty = 1176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 872 / 1176 ti = "12/872/1176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/872/1176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 872 ÷ 212
    872 ÷ 4096     		x = 0.212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1176 ÷ 212
    1176 ÷ 4096     		y = 0.287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212890625 × 2 - 1) × π
    -0.57421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.80396141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287109375 × 2 - 1) × π
    0.42578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33763124699805
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80396141} λ = -1.80396141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33763124699805))-π/2
    2×atan(3.81000784045252)-π/2
    2×1.31411919534841-π/2
    2.62823839069681-1.57079632675     		φ = 1.05744206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80396141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.359375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05744206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.586967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 872 KachelY 1176 -1.80396141 1.05744206 -103.359375 60.586967
    Oben rechts KachelX + 1 873 KachelY 1176 -1.80242743 1.05744206 -103.271485 60.586967
    Unten links KachelX 872 KachelY + 1 1177 -1.80396141 1.05668822 -103.359375 60.543775
    Unten rechts KachelX + 1 873 KachelY + 1 1177 -1.80242743 1.05668822 -103.271485 60.543775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05744206-1.05668822) × R
    0.000753840000000006 × 6371000     		dl = 4802.71464000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05744206-1.05668822) × R
    0.000753840000000006 × 6371000     		dr = 4802.71464000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80396141--1.80242743) × cos(1.05744206) × R
    0.00153398000000005 × 0.491101913051552 × 6371000     		do = 4799.53240566529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80396141--1.80242743) × cos(1.05668822) × R
    0.00153398000000005 × 0.491758445074354 × 6371000     		du = 4805.94868431348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05744206)-sin(1.05668822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491101913051552-0.491758445074354)×R²
    abs(-1.80242743--1.80396141)×0.000656532022802636×R²
    0.00153398000000005×0.000656532022802636×6371000²
    0.00153398000000005×0.000656532022802636×40589641000000     		ar = 23066193.4198706m²