Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8718 / 526
↖ ↑ ↗
← N 84.526710°
W 84.221191°		 ← 116.52 m → N 84.526710°
W 84.210205°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
N 84.525662°
W 84.221191°		 ← 116.54 m →
13 579 m²		 N 84.525662°
W 84.210205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266067504882812 y=0.0160675048828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266067504882812 × 215)
    floor (0.266067504882812 × 32768)
    floor (8718.5)     		tx = 8718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0160675048828125 × 215)
    floor (0.0160675048828125 × 32768)
    floor (526.5)     		ty = 526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8718 / 526 ti = "15/8718/526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8718/526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8718 ÷ 215
    8718 ÷ 32768     		x = 0.26605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 526 ÷ 215
    526 ÷ 32768     		y = 0.01605224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.4678955078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.46993709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.01605224609375 × 2 - 1) × π
    0.9678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 3.0407334166994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.46993709} λ = -1.46993709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.0407334166994))-π/2
    2×atan(20.920581113427)-π/2
    2×1.52303286222455-π/2
    3.0460657244491-1.57079632675     		φ = 1.47526940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.46993709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.221191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47526940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.526710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8718 KachelY 526 -1.46993709 1.47526940 -84.221191 84.526710
    Oben rechts KachelX + 1 8719 KachelY 526 -1.46974534 1.47526940 -84.210205 84.526710
    Unten links KachelX 8718 KachelY + 1 527 -1.46993709 1.47525111 -84.221191 84.525662
    Unten rechts KachelX + 1 8719 KachelY + 1 527 -1.46974534 1.47525111 -84.210205 84.525662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47526940-1.47525111) × R
    1.82899999998654e-05 × 6371000     		dl = 116.525589999142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47526940-1.47525111) × R
    1.82899999998654e-05 × 6371000     		dr = 116.525589999142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.46993709--1.46974534) × cos(1.47526940) × R
    0.000191749999999935 × 0.0953817062671181 × 6371000     		do = 116.522036107843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.46993709--1.46974534) × cos(1.47525111) × R
    0.000191749999999935 × 0.095399912862879 × 6371000     		du = 116.544277999833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47526940)-sin(1.47525111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0953817062671181-0.095399912862879)×R²
    abs(-1.46974534--1.46993709)×1.8206595760864e-05×R²
    0.000191749999999935×1.8206595760864e-05×6371000²
    0.000191749999999935×1.8206595760864e-05×40589641000000     		ar = 13579.0948809761m²