Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8717 / 523
↖ ↑ ↗
← N 84.529853°
W 84.232178°		 ← 116.46 m → N 84.529853°
W 84.221191°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
N 84.528806°
W 84.232178°		 ← 116.48 m →
13 564 m²		 N 84.528806°
W 84.221191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266036987304688 y=0.0159759521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266036987304688 × 215)
    floor (0.266036987304688 × 32768)
    floor (8717.5)     		tx = 8717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0159759521484375 × 215)
    floor (0.0159759521484375 × 32768)
    floor (523.5)     		ty = 523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8717 / 523 ti = "15/8717/523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8717/523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8717 ÷ 215
    8717 ÷ 32768     		x = 0.266021728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 523 ÷ 215
    523 ÷ 32768     		y = 0.015960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.266021728515625 × 2 - 1) × π
    -0.46795654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47012884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.015960693359375 × 2 - 1) × π
    0.96807861328125 × 3.1415926535     		Φ = 3.04130865949484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47012884} λ = -1.47012884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04130865949484))-π/2
    2×atan(20.9326189890075)-π/2
    2×1.5230602881918-π/2
    3.0461205763836-1.57079632675     		φ = 1.47532425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47012884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.232178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47532425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.529853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8717 KachelY 523 -1.47012884 1.47532425 -84.232178 84.529853
    Oben rechts KachelX + 1 8718 KachelY 523 -1.46993709 1.47532425 -84.221191 84.529853
    Unten links KachelX 8717 KachelY + 1 524 -1.47012884 1.47530597 -84.232178 84.528806
    Unten rechts KachelX + 1 8718 KachelY + 1 524 -1.46993709 1.47530597 -84.221191 84.528806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47532425-1.47530597) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dl = 116.461879999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47532425-1.47530597) × R
    1.82799999999261e-05 × 6371000     		dr = 116.461879999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47012884--1.46993709) × cos(1.47532425) × R
    0.000191750000000157 × 0.0953271061973348 × 6371000     		do = 116.455334519678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47012884--1.46993709) × cos(1.47530597) × R
    0.000191750000000157 × 0.0953453029343224 × 6371000     		du = 116.477564367804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47532425)-sin(1.47530597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0953271061973348-0.0953453029343224)×R²
    abs(-1.46993709--1.47012884)×1.81967369876218e-05×R²
    0.000191750000000157×1.81967369876218e-05×6371000²
    0.000191750000000157×1.81967369876218e-05×40589641000000     		ar = 13563.9016589069m²