Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8716 / 522
↖ ↑ ↗
← N 84.530900°
W 84.243164°		 ← 116.43 m → N 84.530900°
W 84.232178°		 →
↑
116.46 m
↓
↑
116.46 m
↓
N 84.529853°
W 84.243164°		 ← 116.46 m →
13 561 m²		 N 84.529853°
W 84.232178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.266006469726562 y=0.0159454345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.266006469726562 × 215)
    floor (0.266006469726562 × 32768)
    floor (8716.5)     		tx = 8716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0159454345703125 × 215)
    floor (0.0159454345703125 × 32768)
    floor (522.5)     		ty = 522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8716 / 522 ti = "15/8716/522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8716/522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8716 ÷ 215
    8716 ÷ 32768     		x = 0.2659912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 522 ÷ 215
    522 ÷ 32768     		y = 0.01593017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2659912109375 × 2 - 1) × π
    -0.468017578125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47032059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.01593017578125 × 2 - 1) × π
    0.9681396484375 × 3.1415926535     		Φ = 3.04150040709332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47032059} λ = -1.47032059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04150040709332))-π/2
    2×atan(20.9366331532695)-π/2
    2×1.5230694266915-π/2
    3.046138853383-1.57079632675     		φ = 1.47534253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47032059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.243164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47534253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.530900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8716 KachelY 522 -1.47032059 1.47534253 -84.243164 84.530900
    Oben rechts KachelX + 1 8717 KachelY 522 -1.47012884 1.47534253 -84.232178 84.530900
    Unten links KachelX 8716 KachelY + 1 523 -1.47032059 1.47532425 -84.243164 84.529853
    Unten rechts KachelX + 1 8717 KachelY + 1 523 -1.47012884 1.47532425 -84.232178 84.529853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47534253-1.47532425) × R
    1.82800000001482e-05 × 6371000     		dl = 116.461880000944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47534253-1.47532425) × R
    1.82800000001482e-05 × 6371000     		dr = 116.461880000944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47032059--1.47012884) × cos(1.47534253) × R
    0.000191749999999935 × 0.0953089094284926 × 6371000     		do = 116.433104632502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47032059--1.47012884) × cos(1.47532425) × R
    0.000191749999999935 × 0.0953271061973348 × 6371000     		du = 116.455334519543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47534253)-sin(1.47532425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0953089094284926-0.0953271061973348)×R²
    abs(-1.47012884--1.47032059)×1.81967688421825e-05×R²
    0.000191749999999935×1.81967688421825e-05×6371000²
    0.000191749999999935×1.81967688421825e-05×40589641000000     		ar = 13561.3127280385m²