Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8708 / 515
↖ ↑ ↗
← N 84.538225°
W 84.331055°		 ← 116.28 m → N 84.538225°
W 84.320068°		 →
↑
116.27 m
↓
↑
116.27 m
↓
N 84.537179°
W 84.331055°		 ← 116.30 m →
13 521 m²		 N 84.537179°
W 84.320068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265762329101562 y=0.0157318115234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265762329101562 × 215)
    floor (0.265762329101562 × 32768)
    floor (8708.5)     		tx = 8708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0157318115234375 × 215)
    floor (0.0157318115234375 × 32768)
    floor (515.5)     		ty = 515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8708 / 515 ti = "15/8708/515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8708/515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8708 ÷ 215
    8708 ÷ 32768     		x = 0.2657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 515 ÷ 215
    515 ÷ 32768     		y = 0.015716552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.47185457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.015716552734375 × 2 - 1) × π
    0.96856689453125 × 3.1415926535     		Φ = 3.04284264028268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47185457} λ = -1.47185457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04284264028268))-π/2
    2×atan(20.9647538652159)-π/2
    2×1.52313334737189-π/2
    3.04626669474378-1.57079632675     		φ = 1.47547037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47185457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47547037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.538225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8708 KachelY 515 -1.47185457 1.47547037 -84.331055 84.538225
    Oben rechts KachelX + 1 8709 KachelY 515 -1.47166282 1.47547037 -84.320068 84.538225
    Unten links KachelX 8708 KachelY + 1 516 -1.47185457 1.47545212 -84.331055 84.537179
    Unten rechts KachelX + 1 8709 KachelY + 1 516 -1.47166282 1.47545212 -84.320068 84.537179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47547037-1.47545212) × R
    1.82500000001085e-05 × 6371000     		dl = 116.270750000691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47547037-1.47545212) × R
    1.82500000001085e-05 × 6371000     		dr = 116.270750000691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47185457--1.47166282) × cos(1.47547037) × R
    0.000191750000000157 × 0.0951816506103783 × 6371000     		do = 116.27764026552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47185457--1.47166282) × cos(1.47545212) × R
    0.000191750000000157 × 0.0951998177380764 × 6371000     		du = 116.299833941776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47547037)-sin(1.47545212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0951816506103783-0.0951998177380764)×R²
    abs(-1.47166282--1.47185457)×1.81671276981016e-05×R²
    0.000191750000000157×1.81671276981016e-05×6371000²
    0.000191750000000157×1.81671276981016e-05×40589641000000     		ar = 13520.97867968m²