Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8707 / 5634
↖ ↑ ↗
← N 75.491654°
W 84.342041°		 ← 306.03 m → N 75.491654°
W 84.331055°		 →
↑
306.13 m
↓
↑
306.13 m
↓
N 75.488901°
W 84.342041°		 ← 306.09 m →
93 693 m²		 N 75.488901°
W 84.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265731811523438 y=0.171951293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265731811523438 × 215)
    floor (0.265731811523438 × 32768)
    floor (8707.5)     		tx = 8707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171951293945312 × 215)
    floor (0.171951293945312 × 32768)
    floor (5634.5)     		ty = 5634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8707 / 5634 ti = "15/8707/5634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8707/5634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8707 ÷ 215
    8707 ÷ 32768     		x = 0.265716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5634 ÷ 215
    5634 ÷ 32768     		y = 0.17193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.46856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47204631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17193603515625 × 2 - 1) × π
    0.6561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06128668366241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47204631} λ = -1.47204631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06128668366241))-π/2
    2×atan(7.8560715889923)-π/2
    2×1.44418712105585-π/2
    2.88837424211171-1.57079632675     		φ = 1.31757792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47204631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.342041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31757792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.491654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8707 KachelY 5634 -1.47204631 1.31757792 -84.342041 75.491654
    Oben rechts KachelX + 1 8708 KachelY 5634 -1.47185457 1.31757792 -84.331055 75.491654
    Unten links KachelX 8707 KachelY + 1 5635 -1.47204631 1.31752987 -84.342041 75.488901
    Unten rechts KachelX + 1 8708 KachelY + 1 5635 -1.47185457 1.31752987 -84.331055 75.488901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31757792-1.31752987) × R
    4.80499999999662e-05 × 6371000     		dl = 306.126549999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31757792-1.31752987) × R
    4.80499999999662e-05 × 6371000     		dr = 306.126549999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47204631--1.47185457) × cos(1.31757792) × R
    0.000191739999999996 × 0.250521026871225 × 6371000     		do = 306.030358681564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47204631--1.47185457) × cos(1.31752987) × R
    0.000191739999999996 × 0.250567544323168 × 6371000     		du = 306.087183263041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31757792)-sin(1.31752987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250521026871225-0.250567544323168)×R²
    abs(-1.47185457--1.47204631)×4.65174519432843e-05×R²
    0.000191739999999996×4.65174519432843e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.65174519432843e-05×40589641000000     		ar = 93692.7156725847m²