Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8707 / 508
↖ ↑ ↗
← N 84.545540°
W 84.342041°		 ← 116.12 m → N 84.545540°
W 84.331055°		 →
↑
116.14 m
↓
↑
116.14 m
↓
N 84.544495°
W 84.342041°		 ← 116.14 m →
13 487 m²		 N 84.544495°
W 84.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265731811523438 y=0.0155181884765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265731811523438 × 215)
    floor (0.265731811523438 × 32768)
    floor (8707.5)     		tx = 8707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0155181884765625 × 215)
    floor (0.0155181884765625 × 32768)
    floor (508.5)     		ty = 508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8707 / 508 ti = "15/8707/508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8707/508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8707 ÷ 215
    8707 ÷ 32768     		x = 0.265716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 508 ÷ 215
    508 ÷ 32768     		y = 0.0155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.46856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47204631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0155029296875 × 2 - 1) × π
    0.968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 3.04418487347205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47204631} λ = -1.47204631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04418487347205))-π/2
    2×atan(20.9929123470575)-π/2
    2×1.52319718270237-π/2
    3.04639436540475-1.57079632675     		φ = 1.47559804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47204631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.342041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47559804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.545540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8707 KachelY 508 -1.47204631 1.47559804 -84.342041 84.545540
    Oben rechts KachelX + 1 8708 KachelY 508 -1.47185457 1.47559804 -84.331055 84.545540
    Unten links KachelX 8707 KachelY + 1 509 -1.47204631 1.47557981 -84.342041 84.544495
    Unten rechts KachelX + 1 8708 KachelY + 1 509 -1.47185457 1.47557981 -84.331055 84.544495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47559804-1.47557981) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dl = 116.143330000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47559804-1.47557981) × R
    1.8230000000008e-05 × 6371000     		dr = 116.143330000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47204631--1.47185457) × cos(1.47559804) × R
    0.000191739999999996 × 0.0950545594669564 × 6371000     		do = 116.116324810307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47204631--1.47185457) × cos(1.47557981) × R
    0.000191739999999996 × 0.0950727069068921 × 6371000     		du = 116.138493279046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47559804)-sin(1.47557981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0950545594669564-0.0950727069068921)×R²
    abs(-1.47185457--1.47204631)×1.81474399356119e-05×R²
    0.000191739999999996×1.81474399356119e-05×6371000²
    0.000191739999999996×1.81474399356119e-05×40589641000000     		ar = 13487.4239910017m²