Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8706 / 507
↖ ↑ ↗
← N 84.546584°
W 84.353027°		 ← 116.10 m → N 84.546584°
W 84.342041°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
N 84.545540°
W 84.353027°		 ← 116.12 m →
13 478 m²		 N 84.545540°
W 84.342041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265701293945312 y=0.0154876708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265701293945312 × 215)
    floor (0.265701293945312 × 32768)
    floor (8706.5)     		tx = 8706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0154876708984375 × 215)
    floor (0.0154876708984375 × 32768)
    floor (507.5)     		ty = 507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8706 / 507 ti = "15/8706/507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8706/507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8706 ÷ 215
    8706 ÷ 32768     		x = 0.26568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 507 ÷ 215
    507 ÷ 32768     		y = 0.015472412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26568603515625 × 2 - 1) × π
    -0.4686279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47223806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.015472412109375 × 2 - 1) × π
    0.96905517578125 × 3.1415926535     		Φ = 3.04437662107053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47223806} λ = -1.47223806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04437662107053))-π/2
    2×atan(20.9969380735345)-π/2
    2×1.52320629507455-π/2
    3.0464125901491-1.57079632675     		φ = 1.47561626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47223806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.353027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47561626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.546584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8706 KachelY 507 -1.47223806 1.47561626 -84.353027 84.546584
    Oben rechts KachelX + 1 8707 KachelY 507 -1.47204631 1.47561626 -84.342041 84.546584
    Unten links KachelX 8706 KachelY + 1 508 -1.47223806 1.47559804 -84.353027 84.545540
    Unten rechts KachelX + 1 8707 KachelY + 1 508 -1.47204631 1.47559804 -84.342041 84.545540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47561626-1.47559804) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dl = 116.079620000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47561626-1.47559804) × R
    1.82200000000687e-05 × 6371000     		dr = 116.079620000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47223806--1.47204631) × cos(1.47561626) × R
    0.000191749999999935 × 0.095036421950169 × 6371000     		do = 116.100223233849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47223806--1.47204631) × cos(1.47559804) × R
    0.000191749999999935 × 0.0950545594669564 × 6371000     		du = 116.122380736254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47561626)-sin(1.47559804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.095036421950169-0.0950545594669564)×R²
    abs(-1.47204631--1.47223806)×1.81375167874614e-05×R²
    0.000191749999999935×1.81375167874614e-05×6371000²
    0.000191749999999935×1.81375167874614e-05×40589641000000     		ar = 13478.1558125994m²