Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 870 / 682
↖ ↑ ↗
← N 75.973553°
W103.535156°		 ← 2 368.68 m → N 75.973553°
W103.447266°		 →
↑
2 370.39 m
↓
↑
2 370.39 m
↓
N 75.952235°
W103.535156°		 ← 2 372.20 m →
5 618 878 m²		 N 75.952235°
W103.447266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2125244140625 y=0.1666259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2125244140625 × 212)
    floor (0.2125244140625 × 4096)
    floor (870.5)     		tx = 870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1666259765625 × 212)
    floor (0.1666259765625 × 4096)
    floor (682.5)     		ty = 682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 870 / 682 ti = "12/870/682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/870/682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 870 ÷ 212
    870 ÷ 4096     		x = 0.21240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 682 ÷ 212
    682 ÷ 4096     		y = 0.16650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21240234375 × 2 - 1) × π
    -0.5751953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80702937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16650390625 × 2 - 1) × π
    0.6669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.09541775619189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80702937} λ = -1.80702937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09541775619189))-π/2
    2×atan(8.12883613261549)-π/2
    2×1.44839248512803-π/2
    2.89678497025606-1.57079632675     		φ = 1.32598864
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80702937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32598864 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.973553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 870 KachelY 682 -1.80702937 1.32598864 -103.535156 75.973553
    Oben rechts KachelX + 1 871 KachelY 682 -1.80549539 1.32598864 -103.447266 75.973553
    Unten links KachelX 870 KachelY + 1 683 -1.80702937 1.32561658 -103.535156 75.952235
    Unten rechts KachelX + 1 871 KachelY + 1 683 -1.80549539 1.32561658 -103.447266 75.952235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32598864-1.32561658) × R
    0.000372060000000118 × 6371000     		dl = 2370.39426000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32598864-1.32561658) × R
    0.000372060000000118 × 6371000     		dr = 2370.39426000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80702937--1.80549539) × cos(1.32598864) × R
    0.00153398000000005 × 0.24236975008597 × 6371000     		do = 2368.67631498821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80702937--1.80549539) × cos(1.32561658) × R
    0.00153398000000005 × 0.242730699944041 × 6371000     		du = 2372.20387310719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32598864)-sin(1.32561658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24236975008597-0.242730699944041)×R²
    abs(-1.80549539--1.80702937)×0.000360949858071447×R²
    0.00153398000000005×0.000360949858071447×6371000²
    0.00153398000000005×0.000360949858071447×40589641000000     		ar = 5618877.65742772m²