Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 870 / 243
↖ ↑ ↗
← N 79.592349°
W 27.070312°		 ← 3 530.99 m → N 79.592349°
W 26.894531°		 →
↑
3 536.29 m
↓
↑
3 536.29 m
↓
N 79.560546°
W 27.070312°		 ← 3 541.66 m →
12 505 460 m²		 N 79.560546°
W 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425048828125 y=0.118896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425048828125 × 211)
    floor (0.425048828125 × 2048)
    floor (870.5)     		tx = 870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118896484375 × 211)
    floor (0.118896484375 × 2048)
    floor (243.5)     		ty = 243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 870 / 243 ti = "11/870/243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/870/243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 870 ÷ 211
    870 ÷ 2048     		x = 0.4248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 243 ÷ 211
    243 ÷ 2048     		y = 0.11865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47246608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11865234375 × 2 - 1) × π
    0.7626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39607799060889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47246608} λ = -0.47246608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39607799060889))-π/2
    2×atan(10.9800280487478)-π/2
    2×1.4799724397545-π/2
    2.95994487950899-1.57079632675     		φ = 1.38914855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47246608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38914855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.592349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 870 KachelY 243 -0.47246608 1.38914855 -27.070312 79.592349
    Oben rechts KachelX + 1 871 KachelY 243 -0.46939812 1.38914855 -26.894531 79.592349
    Unten links KachelX 870 KachelY + 1 244 -0.47246608 1.38859349 -27.070312 79.560546
    Unten rechts KachelX + 1 871 KachelY + 1 244 -0.46939812 1.38859349 -26.894531 79.560546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38914855-1.38859349) × R
    0.000555059999999941 × 6371000     		dl = 3536.28725999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38914855-1.38859349) × R
    0.000555059999999941 × 6371000     		dr = 3536.28725999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47246608--0.46939812) × cos(1.38914855) × R
    0.00306796000000004 × 0.180650484451326 × 6371000     		do = 3530.98952042665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47246608--0.46939812) × cos(1.38859349) × R
    0.00306796000000004 × 0.181196384390541 × 6371000     		du = 3541.6596659866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38914855)-sin(1.38859349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180650484451326-0.181196384390541)×R²
    abs(-0.46939812--0.47246608)×0.000545899939215194×R²
    0.00306796000000004×0.000545899939215194×6371000²
    0.00306796000000004×0.000545899939215194×40589641000000     		ar = 12505459.9272521m²