Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8698 / 6306
↖ ↑ ↗
← N 80.954372°
W132.220459°		 ← 96.04 m → N 80.954372°
W132.214966°		 →
↑
96.01 m
↓
↑
96.01 m
↓
N 80.953508°
W132.220459°		 ← 96.05 m →
9 221 m²		 N 80.953508°
W132.214966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132728576660156 y=0.0962295532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132728576660156 × 216)
    floor (0.132728576660156 × 65536)
    floor (8698.5)     		tx = 8698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0962295532226562 × 216)
    floor (0.0962295532226562 × 65536)
    floor (6306.5)     		ty = 6306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8698 / 6306 ti = "16/8698/6306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8698/6306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8698 ÷ 216
    8698 ÷ 65536     		x = 0.132720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6306 ÷ 216
    6306 ÷ 65536     		y = 0.096221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.132720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.73455810546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30768235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096221923828125 × 2 - 1) × π
    0.80755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53701247549185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30768235} λ = -2.30768235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53701247549185))-π/2
    2×atan(12.6418466716964)-π/2
    2×1.49185832878059-π/2
    2.98371665756118-1.57079632675     		φ = 1.41292033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30768235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.220459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41292033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.954372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8698 KachelY 6306 -2.30768235 1.41292033 -132.220459 80.954372
    Oben rechts KachelX + 1 8699 KachelY 6306 -2.30758647 1.41292033 -132.214966 80.954372
    Unten links KachelX 8698 KachelY + 1 6307 -2.30768235 1.41290526 -132.220459 80.953508
    Unten rechts KachelX + 1 8699 KachelY + 1 6307 -2.30758647 1.41290526 -132.214966 80.953508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41292033-1.41290526) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dl = 96.0109699993303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41292033-1.41290526) × R
    1.50699999998949e-05 × 6371000     		dr = 96.0109699993303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30768235--2.30758647) × cos(1.41292033) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15722097490371 × 6371000     		do = 96.038665206911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30768235--2.30758647) × cos(1.41290526) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157235857467027 × 6371000     		du = 96.0477562427396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41292033)-sin(1.41290526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15722097490371-0.157235857467027)×R²
    abs(-2.30758647--2.30768235)×1.488256331722e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.488256331722e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.488256331722e-05×40589641000000     		ar = 9221.20182341019m²