Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8696 / 6296
↖ ↑ ↗
← N 80.963004°
W132.231446°		 ← 95.95 m → N 80.963004°
W132.225952°		 →
↑
95.95 m
↓
↑
95.95 m
↓
N 80.962141°
W132.231446°		 ← 95.96 m →
9 206 m²		 N 80.962141°
W132.225952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132698059082031 y=0.0960769653320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132698059082031 × 216)
    floor (0.132698059082031 × 65536)
    floor (8696.5)     		tx = 8696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0960769653320312 × 216)
    floor (0.0960769653320312 × 65536)
    floor (6296.5)     		ty = 6296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8696 / 6296 ti = "16/8696/6296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8696/6296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8696 ÷ 216
    8696 ÷ 65536     		x = 0.1326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6296 ÷ 216
    6296 ÷ 65536     		y = 0.0960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1326904296875 × 2 - 1) × π
    -0.734619140625 × 3.1415926535     		Λ = -2.30787410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0960693359375 × 2 - 1) × π
    0.807861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53797121348425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30787410} λ = -2.30787410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53797121348425))-π/2
    2×atan(12.6539727023089)-π/2
    2×1.4919336599729-π/2
    2.9838673199458-1.57079632675     		φ = 1.41307099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30787410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.231446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41307099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.963004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8696 KachelY 6296 -2.30787410 1.41307099 -132.231446 80.963004
    Oben rechts KachelX + 1 8697 KachelY 6296 -2.30777822 1.41307099 -132.225952 80.963004
    Unten links KachelX 8696 KachelY + 1 6297 -2.30787410 1.41305593 -132.231446 80.962141
    Unten rechts KachelX + 1 8697 KachelY + 1 6297 -2.30777822 1.41305593 -132.225952 80.962141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41307099-1.41305593) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dl = 95.9472599997175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41307099-1.41305593) × R
    1.50599999999557e-05 × 6371000     		dr = 95.9472599997175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30787410--2.30777822) × cos(1.41307099) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157072186810768 × 6371000     		do = 95.9477777801315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30787410--2.30777822) × cos(1.41305593) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.157087059855048 × 6371000     		du = 95.9568630012417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41307099)-sin(1.41305593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157072186810768-0.157087059855048)×R²
    abs(-2.30777822--2.30787410)×1.48730442794398e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48730442794398e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48730442794398e-05×40589641000000     		ar = 9206.36223244796m²