Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8693 / 9103
↖ ↑ ↗
← S 19.621892°
E 11.008301°		 ← 2 301.40 m → S 19.621892°
E 11.030274°		 →
↑
2 301.27 m
↓
↑
2 301.27 m
↓
S 19.642588°
E 11.008301°		 ← 2 301.10 m →
5 295 789 m²		 S 19.642588°
E 11.030274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530609130859375 y=0.555633544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530609130859375 × 214)
    floor (0.530609130859375 × 16384)
    floor (8693.5)     		tx = 8693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555633544921875 × 214)
    floor (0.555633544921875 × 16384)
    floor (9103.5)     		ty = 9103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8693 / 9103 ti = "14/8693/9103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8693/9103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8693 ÷ 214
    8693 ÷ 16384     		x = 0.53057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9103 ÷ 214
    9103 ÷ 16384     		y = 0.55560302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53057861328125 × 2 - 1) × π
    0.0611572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19213109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55560302734375 × 2 - 1) × π
    -0.1112060546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.349364124430969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19213109} λ = 0.19213109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.349364124430969))-π/2
    2×atan(0.705136326154949)-π/2
    2×0.6141648513932-π/2
    1.2283297027864-1.57079632675     		φ = -0.34246662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19213109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34246662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.621892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8693 KachelY 9103 0.19213109 -0.34246662 11.008301 -19.621892
    Oben rechts KachelX + 1 8694 KachelY 9103 0.19251459 -0.34246662 11.030274 -19.621892
    Unten links KachelX 8693 KachelY + 1 9104 0.19213109 -0.34282783 11.008301 -19.642588
    Unten rechts KachelX + 1 8694 KachelY + 1 9104 0.19251459 -0.34282783 11.030274 -19.642588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34246662--0.34282783) × R
    0.000361210000000001 × 6371000     		dl = 2301.26891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34246662--0.34282783) × R
    0.000361210000000001 × 6371000     		dr = 2301.26891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19213109-0.19251459) × cos(-0.34246662) × R
    0.000383500000000009 × 0.941929212472042 × 6371000     		do = 2301.39539335493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19213109-0.19251459) × cos(-0.34282783) × R
    0.000383500000000009 × 0.941807852557362 × 6371000     		du = 2301.09887728463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34246662)-sin(-0.34282783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941929212472042-0.941807852557362)×R²
    abs(0.19251459-0.19213109)×0.000121359914680319×R²
    0.000383500000000009×0.000121359914680319×6371000²
    0.000383500000000009×0.000121359914680319×40589641000000     		ar = 5295788.54431797m²