Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8693 / 5813
↖ ↑ ↗
← N 74.990720°
W 84.495850°		 ← 316.37 m → N 74.990720°
W 84.484863°		 →
↑
316.38 m
↓
↑
316.38 m
↓
N 74.987875°
W 84.495850°		 ← 316.43 m →
100 105 m²		 N 74.987875°
W 84.484863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265304565429688 y=0.177413940429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265304565429688 × 215)
    floor (0.265304565429688 × 32768)
    floor (8693.5)     		tx = 8693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.177413940429688 × 215)
    floor (0.177413940429688 × 32768)
    floor (5813.5)     		ty = 5813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8693 / 5813 ti = "15/8693/5813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8693/5813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8693 ÷ 215
    8693 ÷ 32768     		x = 0.265289306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5813 ÷ 215
    5813 ÷ 32768     		y = 0.177398681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.46942138671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47473078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.177398681640625 × 2 - 1) × π
    0.64520263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.02696386353445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47473078} λ = -1.47473078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02696386353445))-π/2
    2×atan(7.59100401184322)-π/2
    2×1.43981565523656-π/2
    2.87963131047313-1.57079632675     		φ = 1.30883498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47473078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.495850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30883498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.990720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8693 KachelY 5813 -1.47473078 1.30883498 -84.495850 74.990720
    Oben rechts KachelX + 1 8694 KachelY 5813 -1.47453903 1.30883498 -84.484863 74.990720
    Unten links KachelX 8693 KachelY + 1 5814 -1.47473078 1.30878532 -84.495850 74.987875
    Unten rechts KachelX + 1 8694 KachelY + 1 5814 -1.47453903 1.30878532 -84.484863 74.987875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30883498-1.30878532) × R
    4.96600000001735e-05 × 6371000     		dl = 316.383860001105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30883498-1.30878532) × R
    4.96600000001735e-05 × 6371000     		dr = 316.383860001105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47473078--1.47453903) × cos(1.30883498) × R
    0.000191749999999935 × 0.258975482084124 × 6371000     		do = 316.374613701531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47473078--1.47453903) × cos(1.30878532) × R
    0.000191749999999935 × 0.259023447559026 × 6371000     		du = 316.433210208316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30883498)-sin(1.30878532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.258975482084124-0.259023447559026)×R²
    abs(-1.47453903--1.47473078)×4.79654749016012e-05×R²
    0.000191749999999935×4.79654749016012e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.79654749016012e-05×40589641000000     		ar = 100105.091003667m²