Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8691 / 5811
↖ ↑ ↗
← N 74.996410°
W 84.517823°		 ← 316.26 m → N 74.996410°
W 84.506836°		 →
↑
316.26 m
↓
↑
316.26 m
↓
N 74.993566°
W 84.517823°		 ← 316.32 m →
100 028 m²		 N 74.993566°
W 84.506836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265243530273438 y=0.177352905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265243530273438 × 215)
    floor (0.265243530273438 × 32768)
    floor (8691.5)     		tx = 8691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.177352905273438 × 215)
    floor (0.177352905273438 × 32768)
    floor (5811.5)     		ty = 5811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8691 / 5811 ti = "15/8691/5811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8691/5811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8691 ÷ 215
    8691 ÷ 32768     		x = 0.265228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5811 ÷ 215
    5811 ÷ 32768     		y = 0.177337646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265228271484375 × 2 - 1) × π
    -0.46954345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47511428
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.177337646484375 × 2 - 1) × π
    0.64532470703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.02734735873142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47511428} λ = -1.47511428}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02734735873142))-π/2
    2×atan(7.59391568369227)-π/2
    2×1.43986530396675-π/2
    2.8797306079335-1.57079632675     		φ = 1.30893428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47511428} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.517823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30893428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.996410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8691 KachelY 5811 -1.47511428 1.30893428 -84.517823 74.996410
    Oben rechts KachelX + 1 8692 KachelY 5811 -1.47492253 1.30893428 -84.506836 74.996410
    Unten links KachelX 8691 KachelY + 1 5812 -1.47511428 1.30888464 -84.517823 74.993566
    Unten rechts KachelX + 1 8692 KachelY + 1 5812 -1.47492253 1.30888464 -84.506836 74.993566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30893428-1.30888464) × R
    4.96399999998509e-05 × 6371000     		dl = 316.25643999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30893428-1.30888464) × R
    4.96399999998509e-05 × 6371000     		dr = 316.25643999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47511428--1.47492253) × cos(1.30893428) × R
    0.000191750000000157 × 0.258879568536642 × 6371000     		do = 316.257441947686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47511428--1.47492253) × cos(1.30888464) × R
    0.000191750000000157 × 0.258927515970559 × 6371000     		du = 316.316016414896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30893428)-sin(1.30888464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.258879568536642-0.258927515970559)×R²
    abs(-1.47492253--1.47511428)×4.79474339177832e-05×R²
    0.000191750000000157×4.79474339177832e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.79474339177832e-05×40589641000000     		ar = 100027.715010511m²