Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 869 / 683
↖ ↑ ↗
← N 75.952235°
W103.623047°		 ← 2 372.20 m → N 75.952235°
W103.535156°		 →
↑
2 374.03 m
↓
↑
2 374.03 m
↓
N 75.930885°
W103.623047°		 ← 2 375.74 m →
5 635 866 m²		 N 75.930885°
W103.535156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2122802734375 y=0.1668701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2122802734375 × 212)
    floor (0.2122802734375 × 4096)
    floor (869.5)     		tx = 869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1668701171875 × 212)
    floor (0.1668701171875 × 4096)
    floor (683.5)     		ty = 683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 869 / 683 ti = "12/869/683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/869/683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 869 ÷ 212
    869 ÷ 4096     		x = 0.212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 683 ÷ 212
    683 ÷ 4096     		y = 0.166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.57568359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80856335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166748046875 × 2 - 1) × π
    0.66650390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.09388377540405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80856335} λ = -1.80856335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09388377540405))-π/2
    2×atan(8.11637621324229)-π/2
    2×1.44820645146744-π/2
    2.89641290293487-1.57079632675     		φ = 1.32561658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80856335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32561658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.952235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 869 KachelY 683 -1.80856335 1.32561658 -103.623047 75.952235
    Oben rechts KachelX + 1 870 KachelY 683 -1.80702937 1.32561658 -103.535156 75.952235
    Unten links KachelX 869 KachelY + 1 684 -1.80856335 1.32524395 -103.623047 75.930885
    Unten rechts KachelX + 1 870 KachelY + 1 684 -1.80702937 1.32524395 -103.535156 75.930885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32561658-1.32524395) × R
    0.000372629999999985 × 6371000     		dl = 2374.0257299999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32561658-1.32524395) × R
    0.000372629999999985 × 6371000     		dr = 2374.0257299999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80856335--1.80702937) × cos(1.32561658) × R
    0.00153398000000005 × 0.242730699944041 × 6371000     		do = 2372.20387310719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80856335--1.80702937) × cos(1.32524395) × R
    0.00153398000000005 × 0.243092169103092 × 6371000     		du = 2375.73650634768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32561658)-sin(1.32524395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242730699944041-0.243092169103092)×R²
    abs(-1.80702937--1.80856335)×0.00036146915905047×R²
    0.00153398000000005×0.00036146915905047×6371000²
    0.00153398000000005×0.00036146915905047×40589641000000     		ar = 5635866.37787846m²