Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8689 / 5807
↖ ↑ ↗
← N 75.007783°
W 84.539795°		 ← 316.02 m → N 75.007783°
W 84.528808°		 →
↑
316.07 m
↓
↑
316.07 m
↓
N 75.004940°
W 84.539795°		 ← 316.08 m →
99 893 m²		 N 75.004940°
W 84.528808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265182495117188 y=0.177230834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265182495117188 × 215)
    floor (0.265182495117188 × 32768)
    floor (8689.5)     		tx = 8689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.177230834960938 × 215)
    floor (0.177230834960938 × 32768)
    floor (5807.5)     		ty = 5807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8689 / 5807 ti = "15/8689/5807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8689/5807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8689 ÷ 215
    8689 ÷ 32768     		x = 0.265167236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5807 ÷ 215
    5807 ÷ 32768     		y = 0.177215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.46966552734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.47549777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.177215576171875 × 2 - 1) × π
    0.64556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.02811434912534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47549777} λ = -1.47549777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02811434912534))-π/2
    2×atan(7.59974237829766)-π/2
    2×1.43996454627076-π/2
    2.87992909254152-1.57079632675     		φ = 1.30913277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47549777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.539795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30913277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.007783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8689 KachelY 5807 -1.47549777 1.30913277 -84.539795 75.007783
    Oben rechts KachelX + 1 8690 KachelY 5807 -1.47530602 1.30913277 -84.528808 75.007783
    Unten links KachelX 8689 KachelY + 1 5808 -1.47549777 1.30908316 -84.539795 75.004940
    Unten rechts KachelX + 1 8690 KachelY + 1 5808 -1.47530602 1.30908316 -84.528808 75.004940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30913277-1.30908316) × R
    4.96100000000332e-05 × 6371000     		dl = 316.065310000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30913277-1.30908316) × R
    4.96100000000332e-05 × 6371000     		dr = 316.065310000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47549777--1.47530602) × cos(1.30913277) × R
    0.000191749999999935 × 0.258687840040292 × 6371000     		do = 316.023218890835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47549777--1.47530602) × cos(1.30908316) × R
    0.000191749999999935 × 0.258735761045809 × 6371000     		du = 316.081761072075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30913277)-sin(1.30908316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.258687840040292-0.258735761045809)×R²
    abs(-1.47530602--1.47549777)×4.79210055173152e-05×R²
    0.000191749999999935×4.79210055173152e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.79210055173152e-05×40589641000000     		ar = 99893.2282432094m²