Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8688 / 5806
↖ ↑ ↗
← N 75.010624°
W 84.550781°		 ← 315.96 m → N 75.010624°
W 84.539795°		 →
↑
315.94 m
↓
↑
315.94 m
↓
N 75.007783°
W 84.550781°		 ← 316.02 m →
99 834 m²		 N 75.007783°
W 84.539795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265151977539062 y=0.177200317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265151977539062 × 215)
    floor (0.265151977539062 × 32768)
    floor (8688.5)     		tx = 8688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.177200317382812 × 215)
    floor (0.177200317382812 × 32768)
    floor (5806.5)     		ty = 5806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8688 / 5806 ti = "15/8688/5806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8688/5806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8688 ÷ 215
    8688 ÷ 32768     		x = 0.26513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5806 ÷ 215
    5806 ÷ 32768     		y = 0.17718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47568952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17718505859375 × 2 - 1) × π
    0.6456298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.02830609672382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47568952} λ = -1.47568952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.02830609672382))-π/2
    2×atan(7.6011997503671)-π/2
    2×1.43998934536046-π/2
    2.87997869072092-1.57079632675     		φ = 1.30918236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47568952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30918236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.010624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8688 KachelY 5806 -1.47568952 1.30918236 -84.550781 75.010624
    Oben rechts KachelX + 1 8689 KachelY 5806 -1.47549777 1.30918236 -84.539795 75.010624
    Unten links KachelX 8688 KachelY + 1 5807 -1.47568952 1.30913277 -84.550781 75.007783
    Unten rechts KachelX + 1 8689 KachelY + 1 5807 -1.47549777 1.30913277 -84.539795 75.007783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30918236-1.30913277) × R
    4.95900000001548e-05 × 6371000     		dl = 315.937890000986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30918236-1.30913277) × R
    4.95900000001548e-05 × 6371000     		dr = 315.937890000986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47568952--1.47549777) × cos(1.30918236) × R
    0.000191749999999935 × 0.258639937717581 × 6371000     		do = 315.964699533245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47568952--1.47549777) × cos(1.30913277) × R
    0.000191749999999935 × 0.258687840040292 × 6371000     		du = 316.023218890835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30918236)-sin(1.30913277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.258639937717581-0.258687840040292)×R²
    abs(-1.47549777--1.47568952)×4.79023227114572e-05×R²
    0.000191749999999935×4.79023227114572e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.79023227114572e-05×40589641000000     		ar = 99834.4647467537m²