Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8687 / 5615
↖ ↑ ↗
← N 75.543856°
W 84.561768°		 ← 304.97 m → N 75.543856°
W 84.550781°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N 75.541112°
W 84.561768°		 ← 305.03 m →
93 037 m²		 N 75.541112°
W 84.550781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265121459960938 y=0.171371459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265121459960938 × 215)
    floor (0.265121459960938 × 32768)
    floor (8687.5)     		tx = 8687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171371459960938 × 215)
    floor (0.171371459960938 × 32768)
    floor (5615.5)     		ty = 5615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8687 / 5615 ti = "15/8687/5615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8687/5615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8687 ÷ 215
    8687 ÷ 32768     		x = 0.265106201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5615 ÷ 215
    5615 ÷ 32768     		y = 0.171356201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265106201171875 × 2 - 1) × π
    -0.46978759765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47588127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171356201171875 × 2 - 1) × π
    0.65728759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06492988803354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47588127} λ = -1.47588127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06492988803354))-π/2
    2×atan(7.88474506329354)-π/2
    2×1.4446426668177-π/2
    2.8892853336354-1.57079632675     		φ = 1.31848901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47588127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.561768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31848901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.543856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8687 KachelY 5615 -1.47588127 1.31848901 -84.561768 75.543856
    Oben rechts KachelX + 1 8688 KachelY 5615 -1.47568952 1.31848901 -84.550781 75.543856
    Unten links KachelX 8687 KachelY + 1 5616 -1.47588127 1.31844113 -84.561768 75.541112
    Unten rechts KachelX + 1 8688 KachelY + 1 5616 -1.47568952 1.31844113 -84.550781 75.541112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31848901-1.31844113) × R
    4.78799999998891e-05 × 6371000     		dl = 305.043479999294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31848901-1.31844113) × R
    4.78799999998891e-05 × 6371000     		dr = 305.043479999294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47588127--1.47568952) × cos(1.31848901) × R
    0.000191749999999935 × 0.249638886621045 × 6371000     		do = 304.968662222465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47588127--1.47568952) × cos(1.31844113) × R
    0.000191749999999935 × 0.249685250406381 × 6371000     		du = 305.02530204241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31848901)-sin(1.31844113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249638886621045-0.249685250406381)×R²
    abs(-1.47568952--1.47588127)×4.63637853364007e-05×R²
    0.000191749999999935×4.63637853364007e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.63637853364007e-05×40589641000000     		ar = 93037.3408372461m²