Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 8687 / 5614
↖ ↑ ↗
← N 75.546598°
W 84.561768°		 ← 304.91 m → N 75.546598°
W 84.550781°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N 75.543856°
W 84.561768°		 ← 304.97 m →
92 981 m²		 N 75.543856°
W 84.550781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265121459960938 y=0.171340942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265121459960938 × 215)
    floor (0.265121459960938 × 32768)
    floor (8687.5)     		tx = 8687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171340942382812 × 215)
    floor (0.171340942382812 × 32768)
    floor (5614.5)     		ty = 5614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8687 / 5614 ti = "15/8687/5614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8687/5614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8687 ÷ 215
    8687 ÷ 32768     		x = 0.265106201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5614 ÷ 215
    5614 ÷ 32768     		y = 0.17132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265106201171875 × 2 - 1) × π
    -0.46978759765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47588127
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17132568359375 × 2 - 1) × π
    0.6573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.06512163563202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47588127} λ = -1.47588127}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06512163563202))-π/2
    2×atan(7.88625708918309)-π/2
    2×1.44466659842464-π/2
    2.88933319684929-1.57079632675     		φ = 1.31853687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47588127} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.561768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31853687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.546598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8687 KachelY 5614 -1.47588127 1.31853687 -84.561768 75.546598
    Oben rechts KachelX + 1 8688 KachelY 5614 -1.47568952 1.31853687 -84.550781 75.546598
    Unten links KachelX 8687 KachelY + 1 5615 -1.47588127 1.31848901 -84.561768 75.543856
    Unten rechts KachelX + 1 8688 KachelY + 1 5615 -1.47568952 1.31848901 -84.550781 75.543856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31853687-1.31848901) × R
    4.78600000000107e-05 × 6371000     		dl = 304.916060000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31853687-1.31848901) × R
    4.78600000000107e-05 × 6371000     		dr = 304.916060000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47588127--1.47568952) × cos(1.31853687) × R
    0.000191749999999935 × 0.249592541630432 × 6371000     		do = 304.912045362891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47588127--1.47568952) × cos(1.31848901) × R
    0.000191749999999935 × 0.249638886621045 × 6371000     		du = 304.968662222465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31853687)-sin(1.31848901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.249592541630432-0.249638886621045)×R²
    abs(-1.47568952--1.47588127)×4.63449906132063e-05×R²
    0.000191749999999935×4.63449906132063e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.63449906132063e-05×40589641000000     		ar = 92981.2112312998m²