Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8686 / 25526
↖ ↑ ↗
← N 36.923548°
W132.286377°		 ← 488.29 m → N 36.923548°
W132.280884°		 →
↑
488.34 m
↓
↑
488.34 m
↓
N 36.919156°
W132.286377°		 ← 488.31 m →
238 455 m²		 N 36.919156°
W132.280884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132545471191406 y=0.389503479003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132545471191406 × 216)
    floor (0.132545471191406 × 65536)
    floor (8686.5)     		tx = 8686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.389503479003906 × 216)
    floor (0.389503479003906 × 65536)
    floor (25526.5)     		ty = 25526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8686 / 25526 ti = "16/8686/25526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8686/25526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8686 ÷ 216
    8686 ÷ 65536     		x = 0.132537841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25526 ÷ 216
    25526 ÷ 65536     		y = 0.389495849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.132537841796875 × 2 - 1) × π
    -0.73492431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.30883283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.389495849609375 × 2 - 1) × π
    0.22100830078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.694318054096893
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30883283} λ = -2.30883283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.694318054096893))-π/2
    2×atan(2.00234311855396)-π/2
    2×1.10761690266558-π/2
    2.21523380533116-1.57079632675     		φ = 0.64443748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30883283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.286377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.64443748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 36.923548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8686 KachelY 25526 -2.30883283 0.64443748 -132.286377 36.923548
    Oben rechts KachelX + 1 8687 KachelY 25526 -2.30873696 0.64443748 -132.280884 36.923548
    Unten links KachelX 8686 KachelY + 1 25527 -2.30883283 0.64436083 -132.286377 36.919156
    Unten rechts KachelX + 1 8687 KachelY + 1 25527 -2.30873696 0.64436083 -132.280884 36.919156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.64443748-0.64436083) × R
    7.66500000000114e-05 × 6371000     		dl = 488.337150000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.64443748-0.64436083) × R
    7.66500000000114e-05 × 6371000     		dr = 488.337150000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30883283--2.30873696) × cos(0.64443748) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.799437826641682 × 6371000     		do = 488.286847388109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30883283--2.30873696) × cos(0.64436083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.799483871691311 × 6371000     		du = 488.314971141291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.64443748)-sin(0.64436083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.799437826641682-0.799483871691311)×R²
    abs(-2.30873696--2.30883283)×4.60450496295728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60450496295728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60450496295728e-05×40589641000000     		ar = 238455.474489611m²