Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8685 / 9050
↖ ↑ ↗
← S 18.521284°
E 10.832519°		 ← 2 316.73 m → S 18.521284°
E 10.854492°		 →
↑
2 316.56 m
↓
↑
2 316.56 m
↓
S 18.542117°
E 10.832519°		 ← 2 316.45 m →
5 366 517 m²		 S 18.542117°
E 10.854492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530120849609375 y=0.552398681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530120849609375 × 214)
    floor (0.530120849609375 × 16384)
    floor (8685.5)     		tx = 8685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552398681640625 × 214)
    floor (0.552398681640625 × 16384)
    floor (9050.5)     		ty = 9050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8685 / 9050 ti = "14/8685/9050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8685/9050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8685 ÷ 214
    8685 ÷ 16384     		x = 0.53009033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9050 ÷ 214
    9050 ÷ 16384     		y = 0.5523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53009033203125 × 2 - 1) × π
    0.0601806640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18906313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.104736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.329038878992065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18906313} λ = 0.18906313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329038878992065))-π/2
    2×atan(0.719615038295828)-π/2
    2×0.62376947553959-π/2
    1.24753895107918-1.57079632675     		φ = -0.32325738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18906313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.832519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32325738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.521284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8685 KachelY 9050 0.18906313 -0.32325738 10.832519 -18.521284
    Oben rechts KachelX + 1 8686 KachelY 9050 0.18944663 -0.32325738 10.854492 -18.521284
    Unten links KachelX 8685 KachelY + 1 9051 0.18906313 -0.32362099 10.832519 -18.542117
    Unten rechts KachelX + 1 8686 KachelY + 1 9051 0.18944663 -0.32362099 10.854492 -18.542117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32325738--0.32362099) × R
    0.000363610000000014 × 6371000     		dl = 2316.55931000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32325738--0.32362099) × R
    0.000363610000000014 × 6371000     		dr = 2316.55931000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18906313-0.18944663) × cos(-0.32325738) × R
    0.000383500000000009 × 0.948205721132895 × 6371000     		do = 2316.73065202105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18906313-0.18944663) × cos(-0.32362099) × R
    0.000383500000000009 × 0.948090155225377 × 6371000     		du = 2316.44829232388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32325738)-sin(-0.32362099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948205721132895-0.948090155225377)×R²
    abs(0.18944663-0.18906313)×0.000115565907517823×R²
    0.000383500000000009×0.000115565907517823×6371000²
    0.000383500000000009×0.000115565907517823×40589641000000     		ar = 5366516.96833603m²