Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 868 / 667
↖ ↑ ↗
← N 53.014783°
W 27.421875°		 ← 11.759 km → N 53.014783°
W 27.246094°		 →
↑
11.773 km
↓
↑
11.773 km
↓
N 52.908902°
W 27.421875°		 ← 11.788 km →
138.615 km²		 N 52.908902°
W 27.246094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.424072265625 y=0.325927734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.424072265625 × 211)
    floor (0.424072265625 × 2048)
    floor (868.5)     		tx = 868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325927734375 × 211)
    floor (0.325927734375 × 2048)
    floor (667.5)     		ty = 667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 868 / 667 ti = "11/868/667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/868/667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 868 ÷ 211
    868 ÷ 2048     		x = 0.423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 667 ÷ 211
    667 ÷ 2048     		y = 0.32568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423828125 × 2 - 1) × π
    -0.15234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47860201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32568359375 × 2 - 1) × π
    0.3486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09526228251904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47860201} λ = -0.47860201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09526228251904))-π/2
    2×atan(2.98996679658254)-π/2
    2×1.24803942332372-π/2
    2.49607884664743-1.57079632675     		φ = 0.92528252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47860201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.421875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92528252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.014783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 868 KachelY 667 -0.47860201 0.92528252 -27.421875 53.014783
    Oben rechts KachelX + 1 869 KachelY 667 -0.47553404 0.92528252 -27.246094 53.014783
    Unten links KachelX 868 KachelY + 1 668 -0.47860201 0.92343454 -27.421875 52.908902
    Unten rechts KachelX + 1 869 KachelY + 1 668 -0.47553404 0.92343454 -27.246094 52.908902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92528252-0.92343454) × R
    0.00184797999999997 × 6371000     		dl = 11773.4805799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92528252-0.92343454) × R
    0.00184797999999997 × 6371000     		dr = 11773.4805799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47860201--0.47553404) × cos(0.92528252) × R
    0.00306797000000003 × 0.601608942028614 × 6371000     		do = 11759.0705622131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47860201--0.47553404) × cos(0.92343454) × R
    0.00306797000000003 × 0.603084063284091 × 6371000     		du = 11787.9033366604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92528252)-sin(0.92343454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601608942028614-0.603084063284091)×R²
    abs(-0.47553404--0.47860201)×0.00147512125547689×R²
    0.00306797000000003×0.00147512125547689×6371000²
    0.00306797000000003×0.00147512125547689×40589641000000     		ar = 138614959.405931m²